分年細目與詮釋使用說明:
1. 細目詮釋的使用者是教師、教科書編者與審定者,因此內容在溝通表達上,涉及許多數學與數學教育的專有名詞,這些名詞不宜出現在教科書上。詮釋中對於不宜出現在課本或教學中的名詞均有加注,如1-a-02中的「交換律」一詞就不宜出現在課本或教學中。 2. 必須出現在教科書中的標準名詞請參見附錄五。 3. 教師課程設計或教科書編撰,應遵循分年細目的內容,但不需要完全遵照細目的順序。細目所規範的內容是至少要包括在教學與教科書中的題材。 4. 「檢查細目」應該併入其它主題的教學,不需要另立單元。 5. 有些幾何或代數的細目,其目的是在協助學童,更平順地銜接到國中的課程,所以被標記為「次要細目」(格式如6-a-02*),教師與教科書編者可依時間是否充裕,做彈性處理。 6. 部分概念如驗算、估算及各種基本運算的性質等,在某條細目引入後,就應該貫穿往後的課程。我們希望學童在較小數字的自然情境,就能開始學習驗算,養成換一種方式或觀點算算看的習慣。基本運算的性質,如交換律、結合律、遞移律等名詞,不必在課本出現,但應該從具體情境的範例及練習中,讓學童自然地認識這些性質,並在往後的學習中,不斷地加強及熟悉。 7. 詮釋中的範例,目的在釐清細目的意義,並不一定要納入教學現場與教科書中。 8. 詮釋中有些討論活動或概念的初次引進,目的都只是在提供學童經驗,鋪陳往後的學習,因此並不適合作評量,這些都會在詮釋中,特別以「不宜評量」標明。 9. 為了解釋推導過程,詮釋有時將許多步驟簡併成單一算式─在詮釋中用(★)─標明,這樣的算式不應該出現在教學現場與教科書中。 (一)一年級 數與量
幾何
代數
N-1-02 A-1-01
統計與機率
D-1-01
(二)二年級
數與量
N-1-01
● 乘法是小學整數教學的重點,其核心為排列模型的理解與九九乘法的熟練(參見2-n-08)。 ● 在二年級裡,應先以連加(參見2-n-05)、幾個一數(參見1-n-07)為乘法的前置經驗。在認識「倍」的概念後(例如:7個2是2的7倍,可以記成2×7=14),讓學童認識乘式的記法中「被乘數」、「乘數」及「積」的位置。再作較小數字的乘法練習,慢慢養成心算的習慣,然後開始練習九九乘法(參見2-n-08)。二年級也應該能計算二位數乘以一位數的乘法(如23×3),雖然在計算上為連加,但必須用乘法橫式來記錄。 ● 乘法的「倍」的意義,是乘法問題中最容易入手的一種。但乘法教學的常見困難也在於,用算式記錄「倍」時是不對稱的,而乘法卻滿足交換律,因此經常造成教學上的困擾。採用下列陣列型的乘法問題情境,可以協助孩子乘法交換律的學習,減輕這種困擾:
(1)先讓學童用花片排成下圖(例:5個一數)。
(2)在「幾的幾倍」的解題活動中(這時的問題,例如「1排學生有5個人,4排學生,有 幾個人?」),持續將學童的解題與排列模型連結起來。並將問題中的「單位」(例如「排」)對應起來(例如圈起來)。
(3)用「5個人的4倍是多少?」之類的問題,來檢查學童是否能直接從問題,將5個人視為一單位。
(4)若(3)已檢查,則可以用排列模型來討論乘法交換律,這時學童應能從排列模型理解「5個人的4倍」與「「4個人的5倍」一樣多。
(5)在這段教學過程中,如果教師想確定學童是否了解題意,可以暫時要求學童加上物體的計數單位(例如:5顆×4=20顆)
●教師應領會排列模型之於乘法,與合成分解模型之於加減法,是最本質又互相融洽的兩個模型,在解題、概念理解、掌握運算性質(參見2-a-03, 3-a-02)、推理上都有相當多的好處。因此在教學上要有意識地向排列模型過渡。乘法的「倍」的意義不是乘法意義的全部。教師要確定的是在解題情境中,學童能正確地說明其算式的意義,但是在解題的程序上,終究要允許學童運用任何策略來計算。舉例來說,「一枝筆3元,24枝筆要多少錢?」,學童應能依照約定列出「3元×24」或「3×24」,但若學童理解交換律,在計算時將問題轉換成「24×3」,並用連加法24+24+24=72,應視為正確(假設學童還不會乘法直式計算),這比讓學童將3連加24次,更值得鼓勵。 ● 在乘法教學中,若要檢查兒童對所給定的乘法算式是否理解,可讓學童練習擬出對應的生活應用情境。
N-1-06 A-1-03
●在恰當教學時機,應引導學生討論「1的乘法」。 ● 從學習乘法開始,就要練習九九乘法。在二年級結束前,學童應理解九九乘法。另外,學童也應熟悉被乘數與乘數為10的基本乘法。 ● 鼓勵學童練習九九乘法表中,如:2、4、6…;3、6、9…;5、10、15…等數列樣式,作為認識因數、數列的前置經驗。 ● 可以讓學童討論九九乘法表中對角線的部分,即2×2、3×3、4×4、5×5、…、9×9。例如:利用正方體積木排出3×3的陣列模型,可排出一排有3個,排3排,接著探討變成4×4的排法。 ● 可進行例如「24可以拆成多少乘以多少」的活動,學童從各種拆法中(3×8,4×6,6×4,8×3),可以慢慢觀察到乘法交換律的事實,這也是因數分解的前置經驗。 ● 在九九乘法的教學中,藉著觀察九九乘法表,讓學童認識乘法可以交換的性質,進而認識九九乘法表只要知道一半的式子即可。
● 分數教學應盡量利用學童對平分與公平的直覺,在學習上應從最容易的「對分」(一半)、「對分再對分」(四分之一)開始,在這種情況,學童也比較可以操作。原則上,應不要將教學時間用在學習等分實際物品的操作上,例如不要求學童實際將一條繩子平分成6份,可透過已經先標記好平分成6份的一條繩子,學童依舊可以理解 16。但可加入判別等分的教學活動。例:如下圖,將繩子分成6份,請問其中一段是否為16,請解釋其理由?
●分數教學有兩種常用模型:「圓形模型」(如披薩)與「線形模型」(如繩子、直尺)。前者比較沒有溝通上的干擾,適合教學;後者因為與測量有關,也很重要。兩者皆應發展。 ● 先從12、14、18等較容易平分的量入手,知道12個披薩就是「半個披薩」,14個披薩就是「半個披薩的一半」。然後再學習13、15、…、112等一般分母的單位分數。 ● 學童應學會「二分之一」、「三分之一」…的說法,並知道「三分之一」個披薩,就是將一個披薩平分成3片其中的1片,「三分之一」條緞帶,就是將一條緞帶平分成3段其中的1段。並知道「三分之一」個披薩3塊合起來是一個披薩。「三分之一」條緞帶3段合起來,是一條緞帶。 ● 作單位分數大小比較時,在感官辨識上,並不容易區分分母較大之單位分數的大小,但從平分的情境中,以分母較小的單位分數比較為基礎,學童應能推理得知一個披薩平分給3人,每人所得到的披薩會比平分給5人的時候多,所以,13個披薩>15個披薩。 ● 也可以與1-n-08中,所謂「半點鐘」相連結。
(三)三年級
●在三年級應初步認識分數的意義,並能理解在日常生活中使用分數的溝通方式。本細目的目標在於,學童從具體情境或活動中掌握分數的概念,能學會分數的記號,並理解運用分數記號來記錄同分母分數的比較與加減的方式。評量時不以形式記號之操作為目標,形式計算應留到四年級之後。 ● 這裡的分數並未限制在真分數,其目的在於避免以後分數教學的限制。但是由於日常生活的分數使用,常常用到小於1的分數,因此在三年級多強調真分數的部分是自然的,但是教師不必自限於真分數。本細目在評量時,學童應能完成的幾項目標,分列如下: ●以平分為基礎的活動(連續量): (1)知道「一個披薩的四分之三」或「一個披薩的34」是將一個披薩平分成4片後,取其中的3片,因此相當於14個披薩取3片,記成「34個披薩」,並能說明分子、分母的意義。
(2)由於學童在(1)中已學過34個披薩是一個披薩平分成4片後,取其中的3片,而「24個披薩」也是同樣的意思,因此學童可以了解「34個披薩」比「24個披薩」多的原因,亦即學童可以學習比較同分母分數的大小。同時,透過〝一半〞的語言,也能說明為什麼「24個披薩」就是「12個披薩」。
學童的學習情況良好,但學生常常沒有注意這必須是在相同的單位量下才可以使用此策略,因此建議增加下列二類活動以澄清學童對分數概念及同分母分數大小比較的了解。 例:「1盒餅乾有8片,分給小志和小英,小英得到 盒,小志得到2片,請問誰得到比較多的餅乾?」,以檢驗學生是否知道 盒是3片(將8片平分成8等份後的3等份),所以 盒比2片多。 例:「哥哥有8個蘋果,姊姊有16個蘋果,哥哥吃掉自己全部蘋果的 ,姊姊吃了自己全部蘋果的 ,請問誰吃的蘋果個數比較多?」,以檢驗學生是否注意到不同單位量的影響。同樣的,上述活動均讓學生透過將蘋果平分成幾份再取幾份的方式,以具體量作比較。
(4)(討論活動,不宜評量)例:「有8個小朋友到披薩屋吃披薩,由於餐廳人擠,有5個小朋友坐在一張大桌子,3個小朋友擠另一張小桌子,他們共點了2個披薩要平分,要怎麼分?」
首先學童要能先理解,8個人分2個披薩,相當於4個人分1個披薩,也就是每人分14個披薩。如果披薩已經4等分切好,大桌子的小朋友要拿走14個披薩共5片,擴張(1)的解釋,可將此記為「54個披薩」(教師要強調「個披薩」的單位才能化解小朋友誤認為58的問題)。並且讓學童討論「54個披薩」其實就是「1個披薩再加上14個披薩」,也要討論「54個披薩」再加上另一桌的「34個披薩」就是「84個披薩」,也就是「2個披薩」。在三年級只要做這樣的活動即可,較一般的解釋則留到四年級(參見4-n-06)。
上述例子除了分數日常使用的約定外,也應將牽涉到的運算記錄下來(只是記錄,不宜評量)。例如: 「34個披薩>24個披薩」,並簡記為34>24; 「24個披薩=12個披薩」,並簡記為24=12; 「54個披薩=1個披薩+14個披薩」,並簡記成54=1+14; 「54個披薩+34個披薩=84個披薩=2個披薩」,並簡記成54+34=84=2。
● 以平分為基礎的活動(離散量): (1)例:知道「30元的二分之一」意指30元的一半,也就是30元除以2的溝通約定(這只是針對「平分」的合理解釋,是30元×12 的前置經驗,但並不相同)。 (2)例:知道「32顆葡萄的四分之三是24顆」,意指將32顆葡萄平分成四份(每份32÷4=8顆),再取其中的三份(得8×3=24顆)。 ● 部分與全體的活動(離散量): (1)例:知道「小明有一盒巧克力,他自己要留一半,其他再平分給小麗和小華。」,意指小麗與小華會各得「全部巧克力的14」,小明自己則保留「全部巧克力的一半」或「半盒」。並知道「這盒糖果我們四個人各分四分之一」的意思,意指將盒中的糖果平分給四人的意思。 (2)例:知道「一盤水果有6顆蘋果,小明拿走2顆蘋果,相當於拿走了全部蘋果的26。」,並知道2顆蘋果佔6顆蘋果的26,也就是13。也知道若將1個披薩平分成8片,則2片佔全部的28,也就是14;也可問下列深色區域是全部圖形的幾分之幾(參見3-s-06)。
●(進階討論,有恰當時機再進行,不宜評量)還可以在具體情境中(例如分披薩),討論自然的分數問題。例:「如果一餐吃13個披薩,1個披薩可以吃幾餐?」、「如果2個披薩平分給3個人,應該怎麼分?」,不用做符號式的紀錄。
N-1-14 N-1-15 S-1-03
(四)四年級
●理解分數的「整數相除」意涵(例如 2÷3==、=2÷3),是分數教學的重要課題,日後一般學童也都只記得分數就是分子除以分母的概念。由於除法有兩種不同的應用情境,在四年級處理較簡單的平分情境(等分除),五年級再處理測量的情境(包含除)。在被除數附上單位的情境裡,比較能順利進行這個課題的教學。 ●先複習「單位分數」(參見2-n-10,3-n-09,這是在平分情境中進行的),例如:將1個披薩,平分給3個小朋友,每個小朋友分得13 個披薩,因此1個披薩÷3= 個披薩,簡記成1÷3=。 ●討論「如何將2個披薩,平分給3個小朋友?」,歸結到先將每個披薩各平分成3片的方法,再從每個披薩中各取 個披薩,但是 個披薩有2片,所以應該是個披薩,也就是每個小朋友各分得個披薩,可以讓學童將個披薩總加起來,確定會得2個披薩。
在這裡教師一定要迫使學童處理,這樣平分到底是13 還是23的認知衝突(即全體與「個披薩」單位的衝突)。學童必須清楚知道,「2個披薩的三分之一是個披薩」。學童在這一點上能突破,才能較穩定理解分數記號的意義。 ●也可以再討論「如何將4個披薩,平分給3個小朋友?」(引導出帶分數的結果)、「如何將2個披薩,平分給4個小朋友?」(引導出等值分數)等問題。 ●在具體情境中,讓學童認識有餘數(不准分割之離散量個別單位,如5個糖果分給3個小朋友)與無餘數(准許分割之連續量個別單位,5個披薩平分給3個小朋友)兩者間的不同,進而清楚理解這兩種情境的差別。
●由本細目,開始發展分數的計算課題,建議分母小於20,且用較常出現的數,如2、3、4、5、8、10、12、15、16、20等。為與小數做連結,應做分母為100、1000等的分數。 ● 由於分數本質上是一種乘除關係,一般其加減計算其實比乘除計算複雜,但是在同分母的情形,可以利用單位分數的點數,與整數的計算完全連結,這就是本細目所處理的所有情形。建議教師先在一固定情境中(如平分披薩),將課題說明清楚並做計算練習後,才開始做其他應用問題(如平分緞帶)。 ● 本細目應處理: (1)將整數點數與分數記號連結起來(例如9個就是 )。 (2)說明真分數、假分數、帶分數的意義。 (3) 說明假分數與帶分數的轉換,並理解這與分子除以分母的商與餘數的關係。 (4)說明整數的比較與計算如何與同分母的比較與計算連結。 ●由於同分母分數的比較與加減,與學童的整數經驗完全相同,所以較容易。因此,此細目可作假(真)分數的整數倍,但不作帶分數的整數倍。在說明分數的整數倍時,先確定學童已能接受4-n-06中「若每個小朋友有個披薩,所以3個小朋友(3倍)共有 個披薩×3=2個披薩」的說明。教師可以採用整數乘法的經驗,建立整數倍的計算,也可與「整數相除」的概念連結。簡單整數除數的情況也類似。 ●透過分解合成,理解加減互逆也可用於分數加減。 ●理解作帶分數減法時,可能要從整數借1的計算原理。並在以10為分母時,理解這與小數相減借位的原理相通。 ●本細目處理完後,學童應能理解或計算: <1<, 是真分數, 是假分數。 + = = 2, - = = 2。 × 3= 2 , × 3= 。 21÷33= 。(教師指定要寫成分數時)。
●另外學童應該從具體平分情境中,理解可用再細分的方式,得到1/4個披薩=1××2 =2/8個披薩。這是擴分的前置經驗,比約分容易操作。 ●在具體的平分情境中(參見4-n-06),知道3個披薩分給9人,相當於1個披薩分給3個人。因此 3/9=3÷9=1÷3=。其中3÷9=1÷3的情況,可以當作因數與約分的前置經驗。等值分數的學習與因數、倍數的學習,不應隔得太遠(參見5-n-03)。 ●由於本細目僅強調「等值分數」概念的理解,因此在處理比較問題時,只處理分母為2、4、5、8、10、100或1000的分數,這些是比較常用的情形。 ●先複習===…=1的事實,然後在具體情境中,說明分數等值的理由。可先由分母的倍數差2、4倍的分數先出發(因為切半的操作最簡單)。 例如讓學童理解3/4與6/8即為等值分數,並運用等值分數進行簡單異分母分數(限一分母為另一分母之倍數時)的比較,如:3/4=6/8 > 5/8。 ●在這裡也引入10/1000=1/100,與小數相連結。
●這裡所有長方形與正方形的邊長皆為整數。 ●長方形面積公式=長×寬,周長=(長+寬)×2。 ●正方形面積公式=邊長×邊長,周長=邊長×4。 ●教師應與學童討論兩面積公式之間的關係。也應討論長方形面積相等,形狀卻不一定相同(因數的前置經驗);若長方形周長相等,形狀也不一定相同。 ●可讓學童計算由長方形與正方形組成的簡單複合圖形,只處理相接而不相重疊的圖形。如下圖:
●認識順時針、逆時針的意義。 ●認識旋轉角度是沿著順時針或逆時針方向轉動的角度。
●能利用三角板來輔助垂直的理解,並由窗格知道,垂直相交的兩線段所成的四角相等(對稱),都是直角。也可由窗格門柵知道平行線在直觀上等寬。並將平行總結為:「兩線(段)同時垂直於某線(段)」(注意本細目只討論平面上的情況)。 ●在圓平分的例子中,作兩次對半分割(即4等分),認識垂直就是4等分割時的自然結果,並與分數中的4等分相互加強。
●例:學童會使用直尺或三角板畫出直角及兩平行線段,進而用來繪製直角三角形、正方形、長方形、平行四邊形與梯形。
●續4-n-03例:「48個布丁,每3個布丁裝1盒,每8盒裝一箱,請問可裝成幾箱?」。學童應理解,這相當於先計算每箱可裝3×8=24個布丁,所以48÷3÷8=48÷(3×8)=48÷24=2。 ●例:「72個蓮霧,平分給4個小隊,再平分給小隊的隊員,若每小隊有6名隊員,請問1個隊員可以分到幾個蓮霧?」。學童應理解,這相當於先計算總共有6×4=24個隊員,所以72÷4÷6=72÷(4×6)=72÷24=3。 ●例:25×11×4=25×4×11=100×11=1100。 ●例:60×32÷12=60÷12×32=5×32=160。
●圖4、圖5又稱直條圖,圖6又稱橫條圖。教學上宜以直立的長條圖為宜。 ●統計圖表的功能在於由圖表可以輕鬆掌握整筆資料,如果只看原始資料不容易有整體印象。 ●現成長條圖包括在報紙或雜誌中所見之長條圖,本細目著重在學童直接報讀長條圖,而非將資料轉換成長條圖,可讓學童省去繪製大量資料圖表的時間。 ●例:92年五月全國各縣市人口數(人口統計電子報第《598》號)。
圖7
(五)五年級
●長方體體積公式=長×寬×高。 ● 正方體體積公式=邊長×邊長×邊長。 ● 教師與學童可討論兩體積公式間關係。 ● 可讓學童計算由長方體與正方體組成的簡單複合圖形,只處理相接而不相內嵌的圖形。如下圖
●本細目為「檢查細目」,應併入整數教學單元中進行(參見5-n-01,5-n-02),不應另立單元教學。「分配律」一詞建議不出現在教學與課本中。 ● 解釋乘法直式計算時,會用到分配律,學童可以從錢幣的情境來理解,也可以透過乘法的「排列模型」來理解。如下圖:4×12=4×10+4×2。
●也可透過下面的例子來理解,例:「一打鉛筆有12枝,文具店有3打黃色鉛筆,7打粉紅色鉛筆,拆開來放在筆筒裡,共有多少枝鉛筆?」,這個問題可以分開成黃色鉛筆12×3=36枝,粉紅色鉛筆12×7=84枝,總共有36+84=120枝來計算,也可以先算有3+7=10打鉛筆,再算共有12×10=120枝鉛筆。所以12×(3+7) =12×10=12×3+12×7=36+84=120。(★) ● 例:「一束花中有10朵玫瑰、12朵康乃馨,7束花總共有多少朵花?」,這 個問題可以分開成7束花有10×7=70朵玫瑰,12×7=84朵康乃馨,合起來共有154朵花;也可以先算每束有10+12=22朵花,再算總共有22×7=154朵花。所以 (10+12) ×7=22×7=10×7+12×7=70+84=154。(★) ● 解釋帶分數乘以整數的計算時,會用到分配律,如:
3×( 1/2)×3=3×3+(1/2)×3=9+(3/2)=10×( 1/2) 。(★)
●學童可將現成資料,藉由次數、數量或人數做成長條圖。 ● 例:各國每人每日垃圾量(中國時報88.6)。 因為想要了解每個人每天會製造多少垃圾,而收集了下面的資料:台灣每個人每天的垃圾量為1.14公斤、日本1.09公斤、新加坡1.10公斤、德國1.09公斤、美國2.00公斤、南韓1.07公斤、英國1.34公斤、法國1.53公斤、荷蘭1.58公斤。並將資料以長條圖表現。 問:從下圖中可以看出什麼?你有什麼想法?
●例:台灣地區主要宗教的信徒人數統計(內政部,民88)。 小馨想要了解台灣哪些宗教有較多的信徒,於是從網路上收集有關的資料,將收集到的資料分類整理後如下表,並從資料中挑出擁有最多信徒的6種宗教,將之以長條圖表現。
圖2
● 若以百分率表示資料的量,也可以看出資料顯現的資訊。如引用【台灣學童近視罹患率(康健雜誌,88.2)】,來製作如下的長條圖,如圖3。
圖3
● 有序資料係指因為數量、時間、位置等的有序變化而產生對應資料。
圖4
●圖4是以睡眠時間的長短為序來製作橫軸,而4-d-02圖7是顯示【92年五月全國各縣市人口數】,其橫軸即具有各縣市地理位置的規則性。
(六)六年級
● 分數計算的課題,不管是從形式練習面著手,還是從情境說明著手,學童都需要經常練習,兩者俱進,才會熟練。本細目在教學上可先處理分數除以整數的問題,再處理整數除以分數的情況,最後處理被除數為一般分數的情形。 ● 在除數為分數的教學中,最要注意的錯誤類型,是學童會認為商一定比被除數小,對於這個基於整數計算經驗的錯誤類推,教師需細心處理。最好在最容易理解的「除數為單位分數」的情況下,就要開始處理。 ● 先從「分裝」(包含除)的觀點,來處理除以分數的課題。先從單位分數的情況開始。例如:「披薩4個,如果每位小朋友可分得1/3個,共可分給多少人?」,先理解1個披薩,每位小朋友可分得1/3個,則1個披薩可分給3個小朋友,因此÷1/3,相當於3倍,亦即×3,因此可分給12位小朋友。(教師也可以在長度測量的情境中處理這個問題。) ●例:「披薩4個,如果每位小朋友可分得2/3個,共可分給多少人?」,由於除數變為原來1/3的兩倍,從包含除的經驗知道,÷2/3的結果相當於÷1/3的結果還要再÷2,所以÷2/3的結果,相當於×3 ÷2。結合5-n-08,知道這相當於×3/2。最後將算式記為4÷2/3=4×3/2=6。 ● 以上是答案為整數的簡單情形,答案非整數的情形宜以測量問題繼續討論例:「一繩長3公尺, 2/5 公尺剪成一段,可剪多少段?」,結果依照上面的計算的答案為15/2 (段),也就是7段再加上1/2 段。由於3-2/5 ×7=15 ,的確等於2/5 ×12 。因此這與以前處理的結果相同。 ●如果要將分數除以分數處理到最細緻(教師不見得要說明到這種地步),則需用到通分來說明。例:一繩長3/2 公尺,以一根長2/5 公尺的木條去度量。將3/2 化成15/10 ,2/5 化成4/10 ,以1/10 公尺為共同單位,問題變成15÷4的問題,答案是3段加3/4 段,其中這3/4 段是因為剩下的3/10 公尺相當於2/5 公尺(也就是4/10 公尺)的3/4 。 ● 由此得到一般的分數計算方式:例如: 27/4÷9/5=27/4×5/9=27×5/4×9=15/4。(★) ● 學童一定要理解如何處理商中之真分數部分、餘數與單位量之間的關係。 ● 另外的除法重要課題是下列問題:「半包麵粉50元,1包麵粉多少元?」、「若用一木棒測量一長100公分之物,結果為5/2 段,請問木棒之長度?」、「若班上戴眼鏡的小朋友有9人,佔全班的30%,請問班上有少人?」,這些雖然是「平分」情境中的問題,卻不宜用平分的方式來思考,應改用比例方法解釋。 ● 能在分數的脈絡中,理解乘除互逆,例如:知道 3/2×3/5=9/10,可用9/10×5/3=3/2來檢驗(也就是知道÷3/5,相當於×5/3)。
我們將它記為1:16=2:32=3:48=…,或16:1=32:2=48:3=….,學童要能發展策略判斷4:64=5:80是正確的。引導學童理解前項除以後項的不變性,並說明這些數對具有共同的商,就是比值,因此「一斤麵粉16元」與「1元可買1/16斤麵粉」是一樣的。 ● 在離散量情境時,有時會出現比值為「1元可買1/12枝筆」的情況。雖然這沒有日常生活的具體意義,但卻具有解題上的意義。
● 例:由三角形的內角和為180度(參見5-s-01),推知四邊形之內角和為360度。 ● 例:能計算複合或重疊圖形的面積或體積,如下圖:
●本細目為「次要細目」。 ● 例:當變化長方形的邊長時,長方形可能變化為正方形。這時面積公式也會變為相對應的面積公式。 ● 例:當變化梯形的一個平行邊長時,梯形可能變化為平行四邊形或三角形。這時面積公式也會變為相對應的面積公式。 ● 例:若小英5秒跑25公尺,10秒跑50公尺,15秒跑75公尺,20秒跑100公尺,用一維表格清楚紀錄(如下表),有助於學童釐清其關係。
可以空下某些位置,讓學童填寫,在這個過程中讓學童理解這是兩個在變化的量,但是這兩個量有一個關係,此即正比關係。 ● 這是國中變數、函數的前置經驗,不宜過份評量。
●本細目應納入6-s-04扇形面積的教學活動,不須另立教學單元。 ● 若無先後、大小、位置關係的資料也可以圓形圖來表現。教學時,可以各組次數除以所有資料次數總和所得的百分率或比值,轉換成圓心角的角度後來製作圓形圖。 ● 例:對50位國中男生最喜歡的休閒活動作調查後,將各項活動的人數加以整理後如表1,來製作圓形圖,如圖1。
表1
● 圖1以百分率來取代人數,可以從圓形圖中看出喜好各項活動人數的比例。若將各組資料以人數表示,也可由圓形圖中看出各組資料間的相對關係。
(七)七年級
●例: 往東10步若記為+10,往西4步則記為-4。 ●例: 第一週公司盈餘 5000萬記為 +5000,第二週若虧損1000萬則記為 -1000。
● 以有向線段表示簡單運算,如表示-2+4的圖示為下圖:
+4
-2 0 2
●能理解質數的定義,並能檢驗100以內的任何數是否為質數。
● 能由尋找正整數的正因數和正倍數的過程理解短除法、和質因數分解的計算方法。 ● 教學以熟練質因數分解的計算方法為主,正整數位數不宜過高。
● 例: 48的標準分解式:
所以48 = 2×2×2×2×3(或2.2.2.2.3),其中2、3稱為48的質因數,而1、2、3、4、6、8、12、16、24、48皆為48的因數,且48則為1、2、3、4、6、8、12、16、24、48的倍數。
●例: 求36,48的的最大公因數。 仿上,36的因數有1、2、3、4、6、9、12、18、36,則兩數最大公因數為12,亦可簡化兩者的因數分解為:
則兩數的最大公因數(36,48)= 2×2×3 = 12,而兩數的最小公倍數 [36,48] = 2×2×3×3×4 = 144。
●做正整數的質因數分解時,其質因數以不大於47為宜。 ● 能解相關應用問題。 例:一數既是2的倍數,也是3的倍數,那麼一定也是哪個數的倍數?為什麼?
●銜接N-3-04,加入負數的四則運算,並能化至最簡分數。 ●例:-4/42=-2/21,7/38-3/19=7/38-6/38=1/38 。
●例: 自強號火車的行駛速率為每小時120公里,假設其依固定速率行駛,下表為行駛時間與行駛距離的數據記錄:
依照上表,可觀察出火車在固定速率時,位移 與時間 的比例關係可以一次函數 來表示。 ●例: 華氏溫度與攝氏溫度的變化是成比例關係,如 Y=9/5X+32,其中Y為應變數, X為自變數,且Y代表華氏溫度,X 代表攝氏溫度。
(八)八年級
● 能理解四個直角三角形所拼出大小正方形面積關係及二個直角三角形所拼出梯形面積關係。 ● 本細目應安排在「乘法公式」的相關章節,其用意在證明勾股定理。 ● 面積關係:(下圖中六個直角三角形全等),與8-a-08同。
● 例: 以 說明甲的面積=大正方形面積 - 四個直角三角形面積和導出: 例: 以 梯形面積=(兩全等直角三角形面積) +(一等腰直角三角形面積) 導出: = a2+b2=c2
(九)九年級
●理解點與圓的位置關係。 ●理解直線與圓的位置關係。 ●理解切線性質:圓心與切點的連線必垂直此切線。 ●圓心到弦的距離稱為弦心距,且該線段垂直平分此弦。 ●理解兩圓的位置關係及公切線。
●理解圓心角、圓周角、弦切角等定義。 ●能理解圓內接四邊形的對角互補。 ●能理解圓內接三角形的一邊為直徑時,此三角形必為直角三角形。
這一班的數學教師,林老師,想了解成績分佈情形,她會把成績整理成如下的頻率表,又稱次數表或人數表。
表2、三年一班各組成績次數表
如果想了解各組成績的相對次數,林老師可以製作如下的相對次數表:
表3、三年一班各組成績相對次數表
這樣,林老師知道有將近一半的學生成績不及格。其實,她也可以再整理成下列的累積次數表及累積相對次數表:
表4、三年一班各組成績累計次數表
表5、三年一班各組成績累計相對次數表
林老師有更多的資訊來了解班上成績的分佈情形,例如:全班有13位,或43%的同學數學需要再加強。
●統計學中,條形圖分為長條圖、直方圖兩大類。長條圖適合用於表現離散的資料,因此各長條以適當的距離間隔來表現資料的離散性;直方圖則適合用於表現連續的資料,因此各長條間並無間隔,且資料應依序排列。 ●國中階段統計的教學宜以有序且具連續性的資料為主,統計圖形則以直方圖、或折線圖為主,如圖1的次數圖即以直方圖的樣式來呈現。 ●相對次數圖」是將次數圖(如圖1)之次數改為相對次數,而「累積相對次數圖」則是將相對次數改為相對累積次數。 ●述諸圖之製作皆依各組之順序在橫軸上標示其位置,再依各組的次數、相對次數或累積相對次數,來製作直方圖。各圖形亦可以折線圖表示,僅需在各組標出中點,又稱組中距,再將各點順序相連即可。
圖1、三年一班各組成績次數圖
圖2、三年一班各組成績累計次數圖
圖3、三年一班各組成績相對次數圖
圖4、三年一班各組成績累計相對次數圖
●製作以上各圖時,組距被強迫設定20;一般而言,組距的大小是以(最大值-最小值)÷(組數)來訂定,因而次數表與次數圖變成表6與圖5。這種不同的表現方示是被允許的,因為重點只在於表達分布的情況,不可能有「最佳」表達法。
表6、三年一班各組成績次數表
圖5、三年一班各組成績次數圖
圖6、三年一班成績盒狀圖
●我們可利用資料的累計百分率,或累計相對次數,以折線圖的樣式來製作累計百分率圖,如圖7。 ●想了解某個百分位數所對應的資料位置,我們可由累計百分率圖縱軸上百分位數的位置作一條水平線使其與累計百分率曲線相交,再由此交點作一條鉛直線與橫軸相交,這個交點即為其所對應的資料位置。
圖7、三年一班成績累計百分率圖
●我們可由四分位距和全距間的差異性來描述整組資料的分散程度。以三年一班數學成績為例,由圖6的盒狀圖我們很容易看出資料集中在Q1 到 Q3 附近。我們也可以盒狀圖,如圖10,來分析幾組資料間的關係。 ●能引導學生使用電腦軟體,如具電子試算表或基本計算功能的程式語言,處理較大筆資料的計算,也可以附加的繪圖功能來製作統計圖形;也可引導學生使用電算器,處理數量不太多的資料(如例1)的統計量。 ●在處理量大且人工不易完成計算,或具重複性的資料時,可嘗試使用電腦軟體來計算相關的統計量,如:平均數、中位數、眾數、百分位數、四分位數及四分位距等,藉以了解這些統計量在統計實驗中顯示的意義。
圖8