[壹.基本理念] [貳.課程目標] [參.能力指標] [肆.能力指標與十大基本能力的關係] [伍、實施要點]
[附錄一 五大主題說明] [附錄二分年細目詮釋] [附錄三 詮釋連結] [附錄四 度量衡列表] [附錄五 標準用詞與解釋] [附錄六 指標專詞釋義]

附錄三 「連結」能力指標之詮釋

察 覺

C-R-01 能察覺生活中與數學相關的情境。
說明:
● 例: 要到阿里山旅行,知道查看火車及客運時刻表。
C-R-02 能察覺數學與其他領域之間有所連結。
說明:
● 例: 知道城市中的地址設置有某些數學式的想法。
C-R-03 能了解其他領域中所用到的數學知識與方法。
說明:
● 例: 能了解理化中以代數的等式表示壓力、體積與氣溫之間的關係。
C-R-04 能察覺數學與人類文化活動相關。
說明:
● 例: 各民族帶狀裝飾的設計往往具有對稱的性質。

轉 換

C-T-01 能把情境中與問題相關的數、量、形析出。
說明:
● 例: 規劃到阿里山的旅程,先要弄清楚到嘉義的火車要花多少時間,嘉義到阿里山的小火車、客運的時刻表以及在阿里山上的行程等。
C-T-02 能把情境中數、量、形之關係以數學語言表出。
說明:
● 例: Eratosthenes 測量地球的大小,知道夏至時太陽直射B城,而在A城則成七度半的斜射,又測得B城在A城的正南方5000單位長的地方,轉成幾何語言則如下圖所示:
*
C-T-03 能把情境中與數學相關的資料資訊化。
說明:
● 例: 想了解班上同學體重之分布,將同學的體重列成有序之長條圖。
C-T-04 能把待解的問題轉化成數學的問題。
說明:
● 承C-T-02的例子,地球大小可用一周長表示,所以周長有多大就是轉化後的數學問題。

解 題

C-S-01 能分解複雜的問題為一系列的子題。
說明:
● 例: 班上為了去墾丁做三天兩夜的旅遊而做規劃:
    1.估計往返交通時間、休息時間及遊玩時間;
    2.排定交通工具、遊玩路線及作息時間;
    3.估算交通、住宿、餐飲及其他費用;
    4.決定每人分攤之費用。
C-S-02 能選擇使用合適的數學表徵。
說明:
● 例: 班上有40位同學,此次組隊登山,共有25位參加。登山隊長賦予每位同學一個號碼,1至25。每到一個休息地,就請隊員依序報號,從1報到25。只要沒間斷就表示全員到齊。隊長當然也可以要同學用學號的最後兩數字作代表,但會有跳號,用起來不方便。
C-S-03 能熟悉解題的各種歷程:蒐集、觀察、臆測、檢驗、推演、驗證、論證等。
說明:
● 例: 台北市地址的單雙號設置是否有規劃?
* 蒐 集: 自家門牌、友人地址、台北市地圖等。
* 觀 察: 街路的側巷看成街路上的住戶,其巷數與街路門牌號數連成一體,所以可用單雙號巷數來區別街路的哪一邊為單號或雙號。
* 臆 測: 以號碼小往號碼大的方向為準,街路的左側為單號、右側為雙號。
* 檢 驗: 上述的臆測很多地方是對的,但南京西路就例外了。似乎所有的西路都剛好相反。
* 再臆測: 街路東西向者,單號在街路的北側,雙號在街路的南側。
* 再檢驗: 仔細察看地圖果然沒錯。
* 推 演: 既然東西向的街路有這樣的規劃,南北向的也應該類似。
* 論 證: 我家在南北向的街路上,是雙號,在西側。所以原則應是:南北向的單號在東側,雙號在西側。
* 驗 證: 仔細察看,無論是南路還是北路,都遵守這樣的規則。
C-S-04 能運用解題的各種方法:分類、歸納、演繹、推理、推論、類比、分析、變形、一般化、特殊化、模型化、系統化、監控等。
說明:
● 推理(在充分的理由之下而做了結論):例,Cameron測量了Nyangwe鎮的標高,知道比尼羅河中游的城鎮Gondokoro要低,所以推理得知Nyangwe所在的Lualaba河不是尼羅河的上游(探險家Livingstone的假設)。
● 推論(理由雖不充分,但已有某些把握,而做了暫時的結論):例,哥倫布航行大西洋多日後,發現鳥群在附近飛過,還有樹枝在附近漂流,於是認為就要遇到陸地了(因為大致說來,鳥群不會遠離陸地飛行,樹枝不會遠離陸地漂流)。
● 類比(情形A與B類似,借用B的結果,推論A的結果):例,公式,譬如 ,我們可以構造一個梯形使得「上底」= 4,「下底」= 10,「高」 ,「所以」和(=「面積」)為 。
● 變形(改變表徵方式):例,一地標目擊者說是在此偏東30°,約200公尺遠,則看地圖可能要說成往東100公尺,再往北170公尺。
● 一般化:例,百貨公司打七折,則先打折後計5%的稅比較便宜,還是先計5%的稅後打折?以原價1000元為例,兩種算法相等:
(1000×70%)×1.05 = 735、(1000×1.05)×70% = 735。
可一般化,以x表任何原價,結果仍然相等:
(x×70%)×1.05 = (x×1.05)×70%。
可把打折幅度一般化,稅率也一般化,而得
(x×y)×z = (x×z)×y。
● 特殊化:例,某診所從外頭買進濃度95%的酒精,要加純水配成濃度70%的酒精來使用。如果需要70%酒精100c.c.,則要用95%酒精多少c.c.?答案為:
100×70%÷95% = 73.68。
但73.68c.c.不好用量杯準確量得;如果不在意70%酒精剛好100c.c.,只要適量就好,則可以一般化,暫以x表之,而答案就變成了
x×70% ÷ 95% = *
若取特殊值x=95,則答案為70c.c.,很容易量得準(也可以取x=190等)。
● 模型化:例,一社區有很好的游泳池,但需要一筆維護費。使用者(按使用次數)付費呢?還是擁有者(按土地坪數)付費呢?如果爭執不下,可用線性模型來化解,依以下公式各付部分費用:
x用+y有
x, y為參數,由社區討論後決定為某特殊值: **
● 系統化:平面座標、道路門牌、能力指標編碼等。
● 監控(防範解題出錯的一些機制):如用代數方法解問題時,應排除不符合題意的解(如長度、面積應為正)。
C-S-05 能了解一數學問題可有不同的解法,並嘗試不同的解法。
說明:
● 例: 解聯立方程式2x + 4y = 72,x + y = 30,可用正統的代數解法,把x = 30 – y代入第一個式子。另一種是猜答的方法(試誤法):若y = 10、x = 20,則2x + 4y = 80比 72 多 8,那麼真正的y要比猜答的少 4 ( y 每少 1,x 就多 1,2x + 4y就少2),即y = 10 –4 = 6、x = 20 + 4 = 24。
C-S-06 能用電算器或電腦處理大數目或大量數字的計算。
說明:
● 當學生在解決問題時,可以將其中大量重複及耗時的計算交給電腦或電算器來處理。

溝 通

C-C-01 能了解數學語言(符號、用語、圖表、非形式化演繹等)的內涵。
說明:
● 語言是用來溝通數學內容用的,要溝通當然要了解該語言的內涵。
C-C-02 能了解數學語言與一般語言的異同。
說明:
● 一般語言的含意比較籠統,其指涉對象的範圍大。數學語言明確,其指涉對象局限在能夠模型化的問題。
C-C-03 能用一般語言與數學語言說明情境與問題。
說明:
● 對於數學概念或問題,應鼓勵學童能用數學語言與一般語言來表達或說明。
C-C-04 能用數學的觀點推測及說明解答的屬性。
說明:
● 例: 88學年度大學聯招因某些試場監考的疏失,有98名考生試後加分,採增額分發錄取方式。到底有多少考生屬增額錄取的?因為全體錄取率為 60 %,而這 98 名考生屬於一般的高中(並不特殊),所以估計約為60(≒ 98×60 %)名。
C-C-05 能用數學語言呈現解題的過程。
說明:
● 指標中的「呈現」指的是用數學語言,用文字就解題的嚴謹方面所做的溝通。
C-C-06 能用一般語言及數學語言說明解題的過程。
說明:
● 指標中的「說明」是偏向口頭的,注重解題過程方面的溝通。
C-C-07 能用回應情境、設想特例、估計或不同角度等方式說明或反駁解答的合理性。
說明:
● 例: 回應情境與估計:承C-C-04的例子,如果分發結果只有 40 名為增額錄取,顯然解答的合理性值得懷疑;如果有 64 名,與估計的 60 名相近,則為合理的數目。
    設想特例:定理「圓周角為同弧圓心角之半」中的圓周角其實有無窮多個,明顯的特例就是把此圓心角的一個半徑邊延長而得的一個圓周角。由此特例,上述「圓周角為同弧圓心角之半」的定理比較容易理解。而通例的證明透過這個特例也可以獲得證明。
    不同角度:例,1 + 2 + … + 99 + 100等於多少?考慮100 + 99 + …+ 2 + 1,其和一樣。兩式對應項相加都得 101,而共有 100 對,所以兩式和為 101×100 = 10100,除以 2,就得一式之和為5050。
C-C-08 能尊重他人解決數學問題的多元想法。
說明:
● 不同的解法固然有快慢的差別,但無論是哪種解法,只要是自己想的或自己能表達出來的,都是數學思考的一種訓練,都會有收穫。
C-C-09 能回應情境共同決定數學模型中的一些待定參數。
說明:
● 見C-S-04中模型化的例子。

評 析

C-E-01 能用解題的結果闡釋原來的情境問題。
說明:
● 例: 底下那一序對的數字可能為某個三角形的三邊長:
(A) (1,2,3) (B) (1,1,3) (C) (1,2,2)
答案為C,是利用三角形任二邊和大於第三邊。
C-E-02 能由解題的結果重新審視情境,提出新的觀點或問題。
說明:
● 承C-E-01的例子,三角形任二邊的和大於第三邊得自於兩點最短的路徑是直線。
C-E-03 能經闡釋及審視情境,重新評估原來的轉化是否得宜,並做必要的調整。
說明:
● C-E-01的例子,原問題轉化成三角形任二邊和大於第三邊的應用,是很適當。
C-E-04 能評析解法的優缺點。
說明:
● 承C-E-01的例子,檢驗一個三角形的邊可由三個不等式來決定。一個幾何問題可轉由簡單的不等式來檢驗,比較容易。
C-E-05 能將問題與解題一般化。
說明:
● 承C-E-02的例子,可推廣為在一些限制條件下,求從點A到點B的最短路徑(或時間)。例如折射定律。