[壹.基本理念] [貳.課程目標] [參.能力指標] [肆.能力指標與十大基本能力的關係] [伍、實施要點]
[附錄一 五大主題說明] [附錄二分年細目詮釋] [附錄三 詮釋連結] [附錄四 度量衡列表] [附錄五 標準用詞與解釋] [附錄六 指標專詞釋義]

附錄一 五大主題說明

本附錄包含「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」和「連結」等五個主題的說明,其內容包含:主題的理念、目標、重要概念或用詞的描述等。

(一)數與量
數與量在國民教育的數學課程中具有最重要的位置,其主要概念的形成以及演算能力的培養均奠基於國小階段,而在國中主要是延伸至包含負數的整條數線的教學。因此,這一主題的學習可分為國小(1年級至6年級)、國中(7年級至9年級)二階段來說明,同時,亦強調銜接教學的重要。

1. 國小階段(1年級至6年級)
國小數與量的範圍較大,因此分為「整數」、「量與實測」、「有理數」和「估算」等子題。在國小「數與量」的教學中,也要持續發展連結指標中的「解題」主題。

(1)整數

在國小階段,整數指的是非負整數,所處理的是離散量的計數與計算。整數教學是國小數學的核心課程之一。課程安排應善用學生在入學前,已有的各種計數與解題能力,在既有的基礎上恰當地統整、釐清並擴張其經驗。

整數計算是一切數學學習的基礎。在教學中,學童經由活動、情境掌握計算的意義,藉著各種例子體驗計算的規則與策略。流暢的計算能力,有如語文學習中,基本的文字駕馭能力,不僅可以內化學童的數字感,並且是日後(國、高中)學習抽象運算及形式推導的基礎,這樣的能力固然是學習科學所必須,也是能夠有效處理日常生活的基本能力之一。

培養流暢的計算能力,應注意以下幾點:
(a) 計算程序的發展有其嚴格性,必須每個環節都能掌握,才會有紮實的計算能力。
(b) 在理解運算意義時,固然可以多樣舉例,但在學習計算程序時,則應運用最恰當的例子(例如幣值),讓學生能順利掌握計算的方式。
(c) 計算程序本質上較為抽象,也因此才能應用於各種不同的情境。在理解運算的意義後,就應該慢慢脫離情境,做計算練習。
(d) 計算的練習必須要多樣,讓學生能從多角度熟練運算的性質與程序。
(e) 學生應該養成簡單心算與驗算的習慣。
(f) 計算時能運用四則運算的性質,協助心算與估算,簡化計算、驗算與解題。

國小整數教學的課程目標在於:
(a) 從計數開始,學習位值的約定與換算,並在演算中,逐步熟悉,最後能掌握大數。
(b) 在二年級下學期,理解算術的樞紐─九九乘法,作為日後所有計算的基礎。。
(c) 到四年級時,能夠不拘泥於位數,熟練加、減、乘、除的直式計算。
(d) 五年級時熟悉整數四則混合計算。
(e) 在六年級時,理解基本的因數分解與質數概念,並與分數運算相互加強,建立完整的數字感。


(2)量與實測

除了日常生活的重要應用外,量的學習也是學生學習連續量的入口,可以與有理數的學習相互加強。其中又以長度的教學最為關鍵:長度是學生保留概念最早成熟的量,也是最容易操作的量,長度的測量是分數與小數教學的自然入口,同時也是學習數線的典型模型。經由長度之經驗,學生學習如何在數線上作比較與加減運算,由此將整數與有理數徹底整合,作為日後學習負數、實數、幾何的基礎。

量與實測是國小數學的核心課程之一,教學中的量包含長度、重量、容量、時間、角度、面積、體積等生活中常用的七種量。其中長度、容量、角度、面積、體積屬於幾何(視覺)量,處理上可以依賴學生的幾何經驗,比較容易。重量的認識,除了依靠身體的感覺,相當依賴測量工具,教學上要注意處理。另外,時間在日常生活十分重要,在學習上卻完全仰賴計時的約定,與其他六種量極為不同,故通常另外處理。

時間以外六種量的學習,大致上要經歷下列四個階段:初步概念與直接比較;間接比較與個別單位;常用單位的約定;常用單位的換算。

(a) 初步概念與直接比較:首先,透過感官直接感覺該量,再對兩同類量作直接比較,最後是量的複製,這是(b)的前置經驗。另外,也包括利用測量工具之刻度直接描述一量。
量的複製包括:整體複製(例:給定一條繩子,比對著端點完整地剪下和所給定的繩子一樣長的繩子)、合成複製(例:用幾根木條頭尾相接拼出黑板的長;用一些硬幣平衡天平另一端放置之重物)與等量合成複製(例如:用等長木條頭尾相接拼出黑板的長;用相同的硬幣平衡天平另一端放置之重物)。
(b) 間接比較與個別單位:對無法直接比較的兩同類量,能透過媒介量,分別作直接比較,並利用比較結果,做出兩量之比較(涉及量的保留概念與量的遞移律)。能作間接比較,便能使用個別單位作測量。
量的保留概念由皮亞傑提出,他從實驗結果知道,未擁有某類量之保留概念的兒童,對此類量不能進行間接比較。但教師可透過恰當的教學與溝通,運過皮亞傑「同一性」、「互逆性」與「互補性」三原則,主動誘發學生早日發展保留概念。
(c) 常用單位的約定:認識某類量之常用單位,並能運用此單位,作量的比較、加、減、乘、除。
(d) 常用單位的換算:在測量時,首先能用大小單位的複名數來描述測量結果。然後再學習使用單位換算的約定,來進行換算。
例:1200公尺=1公里200公尺=1.2公里。

量的教學還有幾個教學要點:
(a) 所有量的教學,都要重視培養量感,學習量的估測,並能與別人溝通觀察的結果。
(b) 常用單位,一方面遵守中央標準局之約定,另一方面也鼓勵教師,配合生活情境,自行補充其他日常生活常用的單位(如:米、cc、ml、坪、台斤等)。
(c) 長度、面積與體積作為量來教學,經常與幾何主題有許多重疊之處,因此有一些指標是量與幾何共用。

(3)有理數

有理數是小學的核心課程之一,也是小學數學教育中,最有挑戰性的教學主題。有理數教學的困難主要在於:它牽涉兩種非常不同的表現形式─分數與小數;它的應用課題很廣─平分、測量、比例、比率、比值、部分/全體;學生較缺乏有理數的前置經驗,日常生活中的有理數情境也比整數少;分數的形式是學生首次碰到兩整數並置的約定,一方面分數計算的熟練,仰賴整數的精熟,另一方面整數計算的經驗,有時反而會造成有理數學習的錯誤;甚至,有理數的概念理解與形式程序的學習,有時會互相干擾,然而有理數數感的建立,卻又依賴兩者在反覆應用練習中,彼此增強。

什麼是穩當的有理數教學,並無定論。但是基本的共識是,學生需要較長的時間,來學習掌握有理數的概念;不論是先形式程序,或者先概念理解,兩者都必須不斷互相支持;在有理數教學中,必須將材料作適當的安排,先從較容易的平分或測量入手,而將其它的應用課題,作為錘鍊有理數數感的課題;運用數線作為模型,將自然數、分數與小數結合在一起,匯聚成「數」的觀念。

小學的有理數教學,必須釐清、練習並連結下述有理數的四種意涵,最後歸結成日後數學學習中,有理數最核心的意涵─「除的意涵」:

(a) 平分的意涵:學生在低年級認識人我分際之後,就會發展出強烈的公平感,因此從平分入手學習分數,是一條比較容易的途徑,也比較容易化解分數學習中常見的認知衝突。

(b) 測量的意涵;長度測量是低年級就發展的數學課題,在以個別單位度量長度,為了解決剩下部分的「餘數」約定時,就能同時發展小數與分數兩種課題。由於單位的強調,測量是調和「部分/全體」的意涵與帶分數認知衝突中的重要工具。

(c) 比例的意涵:比的原理,是一種微妙的平分方式,因此學生比較容易接受。即使學生尚未學習比例式,透過比的方式,仍然可以協助學生解題。最後再透過比值的引入,一貫地解決比例的問題。

(d) 部分/全體的意涵:部分/全體雖然是分數的重要意義之一,但是由於概念較為抽象,而且真分數的暗示過深(全體為1),可能造成假分數或帶分數學習上的困擾,必須透過單位的強調來解決其認知衝突。

另外,建議在分數教學的早期,可以使用單位分數為計數單位,教導假分數的約定與計算,這能與自然數、測量單位的學習,相互加強。

(4)估算

估算是過去數學教學中,較被忽略的課題。一般來說,數字感較好的學生,通常都能夠使用估算的技巧,來協助計算、驗算與解題。而經由估算課題的教學,也更能促使學生對數學概念、程序計算、解題三者間的連結,有更深入的理解。

估算在國民教育中可粗分為離散量的估算(自然數四則運算的估算)與連續量的估算。前者的教學,應在學生已經能掌握確算後再進行。而後者的教學,應透過測量時量不盡的正常情境,與小數的教學共同開展,認識小數之細分與精確度的要求乃是一體的兩面。最後,結合兩者,養成掌握誤差、施行估算的能力。

估算的教學,可以先在計算與驗算中強調,讓學生能對不合理的答案,透過估算剔除;然後是,能判斷應用問題對答案精確度的要求,並藉由過去的解題經驗,發展正確的估算策略;或者是,能針對問題與解答,發展估算策略,驗算解答的合理性。要注意的是,估算屬於較高層次的數學能力,學生必須先對所使用的概念程序與問題情境有相當的理解,才能恰當地估算,進而能正確判斷估算的時機與精確度的要求。

國小的估算教學,要特別注意評量的問題。切忌因為強求估算,禁止學生使用正常計算。教師應在評量的問題上下功夫,讓問題本身暗示估算的好處。
例:在計算75-27時,請學生從20,50,70三個答案中,選擇最合理的答案。
例:小明有25元,小華有40多元,兩個人想要合買80元的巧克力,可能嗎?

2. 國中階段(7年級至9年級)

數與量的學習是整個國中數學的基礎,也是學習的第一個重點。對數與量有充分的了解與掌握之後,才可以進一步的學習其它三類(代數、幾何、統計與機率)的領域。

以下就各年級的階段來詮釋數與量的教學重點。在七年級的階段,數與量的學習乃是國小階段的延續,開始仍然以整數與有理數為重心,但是在概念與操作的層次上則有所不同。首先要引入的是“負數”的觀念,把整數與有理數的範圍推廣到含負的整數及有理數。對學生而言,這是一個抽象且較難理解的概念,因為在日常生活的具體情境中幾乎看不到“負數”的存在。為了要讓負數的理解具體化,數線的引入乃是最好的辦法,同時也是學生日後學習平面座標幾何的入口。透過負數在數線上的標記,及理解加、減運算在數線上的對應操作,學生可以初步了解負數是方向的相反。教學上應教導學生以「正、負」表徵生活中相對應的量,並認識負數是性質(如:方向、輸贏等)的相反,最後體認到“負負得正”的意涵。

有了負數及數線的概念後,引進絕對值的符號就變得相當自然,因為可以利用它來表示數線上二點之間的距離。甚者,經由對絕對值符號的理解,可以強化負數概念的養成。為了要繼續強化學生在國小階段所培養的計算能力,同時擴充對數的操作到含負數的運算,此階段要令學生熟練正負數(含小數、分數)的混合四則運算,並能運用負數的特性判別解答的正負結果及合理性。由於對數的掌握漸趨成熟,以及數目的位值愈來愈大,如何恰當地簡化計算,就變成解題的重要關鍵。為此,學生要能理解正整數的質因數分解,並能以最大公因數、最小公倍數熟練應用至約分、擴分以及最簡分數的計算。在此同時,也很自然地引入指數的記號與指數律。利用指數的符號來記載正整數的質因數分解,不僅在符號上方便,在計算上也可避免錯誤的產生。以10為底的指數應值得特別注意,在日常生活中常常利用它來表示極大的數或極小的數(如:1012光年、毫克=10-3克、奈米=10-9米等),同時也需要用它來表示不同測量單位之間的換算關係。

在七年級,也介紹比例式。比例式的學習是小學有理數教學的延伸及強化。「比例的意涵」雖然屬於「除的意涵」的大領域中,但是二者不盡相同。透過比例的概念,可以發現具體的生活情境中處處存在著比例、正比與反比的關係。在此階段學習比例式的另一個目的是當學生在九年級的階段學習相似多邊形或把一個幾何形體(如圓)放大或縮小時,能理解其邊長或面積變化的比較關係。

八年級的教學雖以代數及幾何為主,但在數與量的部份強調方根的認識與根式的四則運算,及等差數列與級數的理解。

二次方根的學習則是一個全新的經驗,因為它們的操作方式與有理數大不相同。在學習心理上,由於方根的運算是一種逆向思考,學生可能會有挫折感,並進一步地產生學習的障礙,教師要特別留意。在此階段學習方根的目的之一是要為勾股定理作舖路,同時作為代數中解一元二次方程式的根的前置經驗。在教學上宜用簡單的例子並配合代數主題乘法公式的教學說明根式的四則運算以及它們的簡化。

在求方根的近似值方面,可以透過電算器的使用讓學生知道方根如 等是無法利用有限多個位值的數來表示的,因此想要知道 的大小就必須要利用估算以求其近似值。此處的估算和小學階段“測量時量不盡”的情境類似,但是更要求對誤差的掌握。教學上仍以少位值的逼近法來求近似值為主。

在數列與級數的教材方面,教導學生觀察日常生活中有趣或具有規則性的離散量(即數列);進而利用歸納的思維,整理出它們的規則性。教學上要訓練學生能以數學符號的形式表示數列或級數的一般項,並能推導出等差級數和的公式,進而應用於日常生活中。數列與級數的學習也是做為九年級統計與機率的前置經驗,因為處理的量仍以離散量為主。


(二)幾何

人是視覺的動物,為了生存,人類天賦的「形」或「幾何」直覺,遠比一般人所想像要豐富堅實。典型的視覺影像處理─如直線、圖形的邊緣、平行與垂直、對稱、全等操作、放大縮小、圖形識別等,對人類大腦輕而易舉,卻是電腦處理的重大挑戰。因此,幾何不但是數學教育中的重要課題,而且也是較易學習、較有趣的教學單元。

圖形與空間的了解可分為知覺性的了解、操弄性的了解、構圖性的了解、論述性的了解。小學教師在從事幾何教學時,最要避免的是來自本身歐氏公設幾何訓練的干擾,處處受制於定義的認定與邏輯順序。由歷史來看,人類是先由應用、操作、實踐中,認識各種幾何要素與性質,彼此之間並沒有一定的先後關係。歐氏幾何的價值,首先是對這些先民知識的歸類與整理,其次才是作為知識典範的演繹系統。

因此小學的幾何教學,可以參考幾何歷史發展的軌跡與學童認知發展階段,盡量讓學童發揮、拓展其幾何直覺,在操作中,認識各種簡單幾何形體與其性質,再慢慢加入簡單的推理性質與彼此之間的關係,為以後銜接國中幾何的教學,打下良好的基礎。

推理能力的培養是國中數學教育的重點之一。國中階段的學習仍舊以學生已有的幾何直覺經驗為前導,但強調主體或觀念的明確定義,及幾何量的代數運算。因此,學習的內容是由非形式化的推理逐漸提昇至形式化的推理。在國中階段,對於幾何推理的形成,僅強調幾個簡單步驟的推理。

幾何推理:是以『已知條件』及『已知為正確的幾何性質』,推導出結論,這個過程稱為『證明』。我們引用來做為推理過程的基礎幾何性質:一部份是利用實驗歸納的方法得來的,另一部份則是利用已知的幾何性質進行『推論』而導出的結果。證明過程中,除了已教過的性質和定義及已知條件可利用外,沒教過的不可引用。教學時可利用填充證明題開始,進而慢慢獨立完成推理幾何證明的寫作,這對於日後數學邏輯推理能力及以抽象為主的高中數學學習皆有很大的影響。

幾何課程可概分為四階段:

(1) 階段一(一年級到三年級):較強調幾何形體的認識、探索與操作,學生對幾何形體中的幾何要素,也許能指認,但尚不清楚其結構意義。
(2) 階段二(四年級到五年級):由於數與量的發展逐漸成熟,學生開始結合「數」與「形」兩大主題,學習運用幾何形體的構成要素(如角、邊、面)及其數量性質(如角度、邊長、面積)。
(3) 階段三(六年級到七年級):透過形體的分割、拼合、截補、變形及變換等操作,來了解形體的性質與幾何量的計算及非形式化推理。透過方位描述及立體模型的展開與組合以培養空間能力及視覺推理。
(4) 階段四(八年級到九年級):開始由具體操作情境進入推理幾何情境中,最終目標是學會推理幾何證明,學習內容採漸進式安排,由基本幾何概念進入較深入的幾何推理領域中,學習方式最開始可由填充式推理幾何,慢慢養成完整能力,讓學生有能力及信心,快樂地學習幾何學領域的知識。教材內含有認識生活中的平面圖形,如三角形、四邊形、多邊形、圓形;認識點、線、角、符號及幾何相關名詞;使用基本性質描述某一類形體;能以最少性質對幾何圖形下定義、並熟練定義的相關操作;體會邏輯概念:包含關係、敘述及逆敘述、推理幾何;求角度問題、長度問題、面積(表面積)問題、體積問題;推理證明、尺規作圖、全等性質、相似性質、平行性質的應用、圓的相關性質。

(三)代數

在民國82年版的「國小數學課程標準」中,代數的題材比較少,較容易造成學生進入國中後學習的不適應。這次綱要修訂在國小部分,加入一些題材:包括運用未知數作數學表示式、認識變數的概念、理解等量公理等,希望能協助銜接國中的代數教學。

由於算術的學習仍然是國小數學學習的主體,所以在解題策略的發展上,應盡量讓學生作多方探索,避免讓代數工具過早抑制學生的想像力。因此在國小的代數主題中,關於四則運算符號與性質的指標,都只是檢查性的指標,在教學與課本的安排上,應併入數與量的教學中,不該獨立成特別的教學單元。

國小代數題材安排特色:

(a) 能理解常用算術符號的使用方式,並用來列出日常問題的算式,以進行解題。
例:關係符號如:=, < , >; 運算符號如:+, -, ×, ÷; 未知數符號如:□, 甲, 乙。
(b) 從整數到分數、小數,在具體情境中,了解各基本運算之性質,並用來簡化計算。
例:加法交換律、結合律、乘法交換律、結合律、乘法對加法的分配律。加減互逆、乘除互逆。=, < , >的遞移律。
(c) 從最基本的加減問題開始,到四則混合計算,讓學生最後能獨立於生活與具體情境,在形式與程序上,流暢進行整數計算。

(d) 協助發展對數學問題之解題策略。
例:代入法、加減互逆、乘除互逆,反向思考解題、比例推理解題、比值解題,更複雜之混合策略解題(如傳統應用問題)。

(e) 能理解等量公理。
等量公理只是綜合學生六年數與量的各種計算經驗,所作的統合整理,不應再另立情境去解釋。

文字符號是學習代數的一個難關。本綱要已注意到從算術到代數的銜接過程。為了處理銜接問題,代數在第三階段的部分指標在國小、國中階段重複被使用。當然,強調的重點會不一樣。在國小學習了簡單的代數基礎,進入了國中階段,熟練正、負數的四則運算之後,於是展開學習代數的另一個起點。例如:利用二元未知數作數學表示式,以解二元一次聯立方程式之二元未知數,就是一個小小的突破,它取代了國小階段以畫線段圖的方式來幫助理解題意,進而列出數量之間的四則運算關係。

其次,代數的能力強調邏輯的推演,培養學生的抽象思考能力,在幾何推理的素材上,常常需要藉由代數的能力導出新的觀念,創造新的性質和結果。

此外,利用變數與函數的觀念,不僅可以解決很多日常生活中的問題,更是e化時代資訊科技「輸入與輸出」的學問基礎。本課程整理出下述所應完成的相關課題。

國中代數題材安排特色:

(a) 以數學式描述問題中有關之數量關係,並理解數學式中定數與變數之差異。
(b) 一元一次方程式、二元一次聯立方程式與一元一次不等式的解法,及其解之合理性。
(c) 一維數線、二維平面直角座標系相關定義及內容。
(d) 以乘法公式進行多項式因式的分解。
(e) 勾股定理及其應用。
(f) 一元二次方程式的解法。
(g) 函數的概念,以及線型函數、二次函數的樣式及其圖形。
(h) 將所學習的代數能力應用於「數與量」、「幾何」、「統計與機率」等其他主題的數學式推演。

(四)統計與機率
在科技發達的新世紀,人們須經常面對多元的資訊。因此,如何擷取有意義的資訊,並加以解讀和分析,進而轉變成有用的資產,更是追求知識經濟的大時代裡應具備的重要能力。在此追求e化的世紀,數字是資訊表現的主要媒介,而統計方法則是解讀和分析數字資訊的重要工具。因此,培養國民應具備的基本統計素養,應是國民教育階段數學學習領域的重點之一。

統計和機率的知識背景來自生活環境,因此以學生的生活經驗為主,從學生感興趣的主題出發,使其學會敘述統計所呈現出的數字和圖表的意義,強調圖表的表達和溝通,並了解抽樣、機率的初步概念,且能正確地運用各項統計資料於實際的生活中,應是這個主題教學的藍本。

統計和機率知識的成長確實與學生對「數與量」、「代數」、「幾何」主題能力的掌握有關,其教學應與相關主題的教學相互配合。因此,依各階段的能力成長分五個層次來實施「統計與機率」的教學。

(a) 三年級之前: 先藉由簡易表格的製作,協助學生建立資料的整理與分組的概念,進而練習報讀與說明資料,並建立個別資料出現頻率概念的認識。再藉著直接和交叉對應表格的介紹,並配合「數與量」的教學,希望學生能掌握對表格的認識,並能加以運用。
(b) 四年級:經由簡易幾何圖形的前置經驗,引進長條圖、折線圖與圓形圖作為認識統計圖表教學的開始。藉由報讀生活中的資料統計圖,進而引進若干較簡易的變形長條圖,培養學生對長條圖的認識。這階段的教學尚不宜引進百分率、小數或分數來表現資料的量。
(c) 五年級:統計圖形的製作是由長條圖的製作開始,再經由有序資料的引進,來進行折線圖的報讀與製作。
(d) 六年級:配合「數與量」對比值和扇形面積的教學,再經由生活中資料的整理,來製作圓形圖。
(d) 九年級: 配合國中階段「先代數、後幾何」的主題式教學方式,由次數逐漸進階至累計次數、累計相對次數、百分位數、中位數、全距、四分位距等統計量及直方圖、盒狀圖等統計圖形,來了解資料表現的特質。機率的介紹,仍以引進實驗或遊戲來了解機會並建立相關概念為主,尚不宜做嚴格的定義或過份繁雜的統計量計算。此階段可視資料量或其特性,適度引進電算器、電腦軟體來協助計算統計量,或製作統計圖形。


有關電算器、電腦的使用,應視為學習的輔助工具,除非資料量過大或人工不易執行,否則不宜完全依賴它們來執行。統計圖形的製作,在小學階段仍以人工製作為主;在九年級可引進通用的軟體,如Excel 或其他繪圖軟體來協助。

由於「統計與機率」主題在國民教育階段仍屬概念性的教學,較嚴謹的介紹將在高中、職階段的數學課程中實施。

有關統計與機率的重要用語和概念說明如下:

(a) 「報讀」是指「將在統計圖形上所看到資料直接讀出來」(例如:男生戴眼鏡的人數為60%,女生戴眼鏡的人數為28%)。
(b) 「統計圖表的解讀」應在「社會」或「自然與生活科技」等領域進行教學為宜,以提昇跨領域連結的成效。
(c) 「生活中的資料」是指利用報紙、網路、機關單位公告等的現成統計圖表,或利用所擷取的數字資料透過電腦軟體轉換成圖表。


(五)連結
數學是依循嚴謹的邏輯程序而發展成的一個知識體系,它的特點在於能從問題的本質來探究其內在深層的結構,儘管這些問題的表相是多麼地不同。因此,數學敘述方式是一種抽象形式的語言,這種抽象性的本質是一般人學習數學的最大障礙。在國民教育的課程裡,如何協助學童擺脫數學形式規則的束縛,是編寫教科書及教師教學時所該注意的要點。具體來講,課程的設計應注重數學內在結構的連結,及數學在生活情境以及和其它學科(例如自然科學)的連結。

雖然處理方式不是很令人滿意,這些內部連結在傳統的教學上多少都注意到。舉例來說,在國中時,傳統教學方式,通常先代數後幾何,教科書編排方式是在代數主題的全部題材或至少絕大部份題材教完後,再轉到幾何主題教學。這種教學方式,並不是說學童在國一下及國二上學完代數後,在往後的年級裡不再學習和代數相關的數學。事實上,在國二下及國三上的幾何課裡一般都有安排許多代數的應用。這類代數的應用至少包括以抽象的代數符號和運算來表達幾何圖形中量與量的關係,例如座標平面上的距離公式,又例如相似形與比例的關係,並且希望能夠透過對座標平面的認識,建立座標幾何的初步經驗。代數與幾何的關係,充分說明了數學內在結構連結的重要性。一些生活情境上的問題,例如拋物運動和一元二次方程式,在國中的學習應該出現。不僅如此,在國小曾經出現過的許多應用問題,包括一些以四則運算很難處理的,在經過分析之後,亦應在國中做第二階段的代數處理,以理解代數在解決問題中扮演的角色。縱使對教材編排的順序各有看法,但統整連結的原則仍必須兼顧。

在修訂工作時,對暫行綱要裡連結部分的處理,雖然應該加強,但是基於修訂時程緊迫以及儘可能減少更改其原暫行綱要的考量下,修訂小組決定暫時保留原列連結的能力指標。因此,「連結」主題能力指標的詮釋大抵沿用原暫行綱要的說明,僅對某些部分,再加以較具體的說明。「連結」主題能力指標詮釋的內容,詳見附錄三之相關說明。

附錄二 分年細目詮釋

分年細目與詮釋使用說明:

1. 細目詮釋的使用者是教師、教科書編者與審定者,因此內容在溝通表達上,涉及許多數學與數學教育的專有名詞,這些名詞不宜出現在教科書上。詮釋中對於不宜出現在課本或教學中的名詞均有加注,如1-a-02中的「交換律」一詞就不宜出現在課本或教學中。
2. 出現在教科書中的數學名詞請參見附錄五的標準名詞表。
3. 教師課程設計或教科書編撰,應遵循分年細目的內容,但不需要完全遵照細目的順序。細目所規範的內容是至少要包括在教學與教科書中的題材。
4. 「檢查細目」應該併入其它主題的教學,不需要另立單元。
5. 有些幾何或代數的細目,其目的是在協助學童,更平順地銜接到國中的課程,所以被標記為「次要細目」(格式如6-a-02*),教師與教科書編者可依時間是否充裕,做彈性處理。
6. 部分概念如驗算、估算及各種基本運算的性質等,在某條細目引入後,就應該貫穿往後的課程。我們希望學童在較小數字的自然情境,就能開始學習驗算,養成換一種方式或觀點算算看的習慣。基本運算的性質,如交換律、結合律、遞移律等名詞,不必在課本出現,但應該從具體情境的範例及練習中,讓學童自然地認識這些性質,並在往後的學習中,不斷地加強及熟悉。
7. 詮釋中的範例,目的在釐清細目的意義,並不一定要納入教學現場與教科書中。
8. 詮釋中有些討論活動或概念的初次引進,目的都只是在提供學童經驗,鋪陳往後的學習,因此並不適合作評量,這些都會在詮釋中,特別以「不宜評量」標明。
9. 為了解釋推導過程,詮釋有時將許多步驟簡併成單一算式─在詮釋中用(★)─標明,這樣的算式不應該出現在教學現場與教科書中。


(一)一年級
數與量

1-n-01 能認識100以內的數及「個位」、「十位」的位名,並進行位值單位的換算。 N-1-01
說明: o 非負整數的認識是兒童最早接觸的數學教材,教學時宜讓兒童能初步掌握整數數詞序列的規律,並能以具體的量、聲音、圖像、數字,進行說、讀、聽、寫、做的活動,表徵100以內的數。
o 數數活動較熟練後,可配合其他課程,做各式各樣的活動。例如分類數數與記錄活動(參見1-s-02)、第幾個的活動(參見1-n-03)、簡單買賣活動(參見1-n-02)。
o 數字「87」是指8個「十」和7個「一」,其中8所在的位置即為「十位」,其位值單位為「十」,7所在的位置即為「個位」,其位值單位為「一」。
o 位值單位的換算,宜先引導學童用教具做十個一堆的數數活動。其中錢幣由於日常生活常用,更是適合位值換算的教學(參見1-n-02)。例如:先理解16個「一」元,可以換成1個「十」元與6個「一」元;再將8個「十」元與16個「一」元,換成9個「十」元與6個「一」元,記成「96」。(在活動中進行,不宜過度評量)。

1-n-02 能認識1元、5元、10元、50元等錢幣幣值,並做1元與10元錢幣的換算。 N-1-01
N-1-02
說明: o 錢幣的使用,是學童學習加減法最自然的生活情境,應多運用。例如作簡單的買賣活動,可以提高學童學習數數與位值換算的興趣。
o 一年級進行錢幣的使用教學時,可給定一物品的金額讓學童付錢,例如:怎麼付錢可以剛好買一個18元的三明治?可以讓學童嘗試不同的組合方式,以與1-n-04互相加強。最重要的10元與1元的互換要先做。並在所有錢幣與1元的互換基礎上,慢慢理解10元相當於兩個5元硬幣,50元相當於五個10元等事實。

1-n-03 能運用數表達多少、大小、順序。 N-1-01
說明: o 數的比較含有數量和序數兩種情形,因為概念比較抽象,可藉由「量」的情境下進行,例:5枝鉛筆比4枝鉛筆多、小明排隊排在第3個位子。
o 教學溝通上要注意序數(第幾個)是有方向性的,必須先講清楚從哪裡開始數;另外也要注意「8前面是什麼數?」這類問題,本身有語意溝通的歧義。
o 在此後的數與量教學中,都要進行比較大小的活動。
1-n-04 能從合成、分解的活動中,理解加減法的意義,使用+、-、=作橫式紀錄與直式紀錄,並解決生活中的問題。 N-1-02

說明: o 在一年級的加減活動著重在數數活動與合成分解活動的過渡,以及後者的熟悉。一年級也應熟悉基本加減法(心算練習,見1-n-05)。學習加減法,數量不宜過大,但亦不限於一位數。
o 在一年級學習將合成分解活動的結果,寫成加減法的橫式紀錄與直式紀錄。例如:7顆蘋果和3顆蘋果合起來是10顆蘋果,可以記成7+3=10;或7顆蘋果中吃掉3顆蘋果剩下4顆蘋果,可以記成7-3=4。教師在教學中應積極建立學童等號為計算結果之意義。
o 一年級的直式紀錄只是提供直式計算的前置經驗,沒有計算意涵,可在一年級下學期才引入。
o 合成分解活動十分自然,在教學上不必特別區分,讓學童在具體情境與解題中,認識加法與減法的互逆關係(參見1-a-03)。
o 加減的生活問題中,先固定一數再加(或減)一數的類型最簡單。例:「小明有5顆糖,媽媽再給他4顆,小明現在有幾顆糖?」、「小明有6顆糖,分給小英2顆糖,小明還剩幾顆糖?」
o 但其他問題類型也應在一年級中練習。例:(後面二例較困難,可以透過討論及操作活動讓學童解題,待二年級才要求學童列式解題,不宜過度評量)
「小明左口袋有5顆彈珠、右口袋有10顆彈珠,請問小明有幾顆彈珠?」
「隔壁班男生有15人,女生有16人,隔壁班有多少人?」
「小華有5元,牛奶糖一盒要10元,小華還需要多少錢才能買一盒牛奶糖?」
「在遊樂場有一個遊戲項目,一次只能容納20人,班上總共有27人,有多少人要等到下次才能做?」
「我們班的男生有14人,女生有17人,男生多還是女生多?多幾人?」
「小華有4枝彩色鉛筆,小麗比小華多3隻,請問小麗有幾枝彩色鉛筆?」
「姊姊有15元,弟弟的錢比姊姊少5元,弟弟有多少錢?」
o 在這些問題的教學中,讓學童掌握使用教具(如花片)或畫圈圈來理解這些問題的結構,並協助解題。讓學童在合成分解的活動或表徵情境裡,慢慢掌握橫式記錄中,等號其實都可以解釋成「一樣多」的意義(參見1-a-01)。
o 在恰當教學時機,應讓學童理解某數+0與-0,其結果不變的事實。
o 在加減法教學中,若要檢查兒童對所給定的加減算式是否理解,可讓學童練習擬出對應的生活應用情境。

1-n-05 能熟練基本加減法。 N-1-02
說明: o 本細目目的在養成學童簡單心算的能力和習慣,作為日後計算的基礎。
o 熟練的意思是,能夠不透過數數就知道答案。
o 基本加減法包括(1)加1與減1;(2)加10與減10;(3)合10與拆10;(4)被加數與加數為一位數的加法(例:4+8=12);(5)前者之逆運算(例:12-8=4)。
o 例:可用心算卡配合遊戲進行基本加減法、合十、拆十等練習。或從最簡單的逐次加一、逐次減一、逐次加十、逐次減十的心算開始。
o 教師在基本加減法可以使用的情況或問題中,可鼓勵學童使用心算。但是這不表示一年級的加減法問題僅限於基本加減法,例如學童還是要會用數數或其他合成分解的策略去計算12+9之類的問題。

1-n-06 能作一位數之連加、連減與加減混合計算。 N-1-02
N-1-03
說明: o 在合成分解情境中理解連加、連減與加減混合的計算。由於學童剛學加減法,在一年級只作一位數的運算即可,目的在熟練基本加減法(參見1-n-05)與熟悉較小數的加減運算。此時加數與減數的個數不宜太多,三個以內即可。
o 參見1-a-02。
1-n-07 能進行2個一數、5個一數、10個一數等活動。 N-1-01
N-1-03
說明: o 2個一數、5個一數、10個一數等活動為乘法的前置活動。
o 運用花片之類的教具進行幾個一數的過程,排成整齊的排列形狀,可作為乘法「陣列模型」的前置經驗(參見2-n-06,2-a-03)。
o 例:利用百數表教具,進行幾個一數的數數活動,將數過的數,圈出來或羅列成簡單數列。

1-n-08 能認識常用時間用語,並報讀日期與鐘面上整點、半點的時刻。 N-1-13
說明: o 先進行幾個事件發生先後順序的辨識活動。
o 能使用常用時間用語,如上午、中午、下午或今天、昨天、明天,並知道其先後順序。
o 能查閱日曆、月曆或年曆上的日期,知道今天是「幾月幾日星期幾」。
o 能認識鐘面上的長、短針,並報讀時鐘上常用的時間刻度,在一年級只作整點或半點的報時。如「1點鐘」、「3點半」。

1-n-09 能認識長度,並做直接比較。 N-1-14
S-1-01
說明: o 量的教學請參見附錄中「量與實測」的主題說明。
1-n-10 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較物體的長短。 N-1-15
說明: o 量的教學請參見附錄中「量與實測」的主題說明。
o 這邊的個別單位不見得是常用單位(例如手臂長、掌幅、方形紙片等都可作為個別單位)。
o 長度是國小最早學習的量,具有量之學習的指標作用,而且又是數線與小數概念的入口,教師務必小心處理此細目,完成利用個別單位測量與距離觀念的連結。例如可以要求學童以一步為單位,測量距離(「步數」),讓學童知道可利用「單位」來量度「距離」。
o 在本細目中也應處理以個別單位為基礎的長度合成分解活動,作為長度加減(參見2-n-14)與數線加減(參見3-n-07)的前置經驗。例如:紅花繩和10個小麗的掌幅一樣長,藍花繩和12個小麗的掌幅一樣長,所以藍花繩比較長,且多了2個小麗的掌幅長。重點是學童能將合成分解的經驗、加減運算,與長度比較的經驗連結起來。

幾何

1-s-01
能認識直線與曲線。 S-1-01

說明: o 從具體活動的操作中,知道連結兩點(手指)間的線(繩子),以直線為最短。

1-s-02 能辨認、描述與分類簡單平面圖形與立體形體。 S-1-01
說明: o 在此時期,只要訴諸學童之幾何直覺即可,不必強調其構成要素。在名稱的溝通上,可以先讓學童隨意發揮,啟發學童對圖形結構的體驗,老師再歸結到常用的名稱,並作合理的說明(不需要拘泥在嚴格的定義)。
o 簡單平面圖形,如:三角形、正方形、長方形、圓形等;簡單立體形體,如:球體、正方體、長方體、圓柱體、圓錐等。
o 本細目可以與其他分類與數數的教學活動相結合,例如1-d-01。
1-s-03 能描繪或仿製簡單平面圖形。 S-1-02
說明: o 例:以塗色或套描進行描繪活動或其他組合活動。
o 學童的肌肉還不能作細密的協調,不宜作精確的要求。只是在仿製活動中,體驗平面圖形的結構特徵。

1-s-04 能依給定圖示,將簡單形體作平面舖設與立體堆疊。 S-1-02
S-1-05
說明: o 本細目的目標在體驗空間感與全等操作,可整合成一教學活動。
o 給定的圖示可為圖卡或實物,透過拼圖與堆積木等活動,讓學童進行平移、翻轉、重疊、比對…等全等操作的練習。

1-s-05 能描述某物在觀察者的前後、左右、上下及兩個物體的遠近位置。 S-1-06
說明: o 本細目應在教學活動中進行。
o 相對位置描述詞在日常生活中很常用,因此應及早引入,並可與序詞的教學相結合,例:「最上面數下來第2個抽屜是我的。」、「小明右邊第3人是小麗。」「小華,請往前走2步。」、「左邊離我們比較遠的那個女生是小英。」
o 由於人體大致上是左右對稱的,因此「左右」是這些詞組中較難的概念,在溝通上也要小心,學童必須能確定觀察者,才能比較沒有歧義的判斷「左」與「右」。由於兒童可能在二、三年級才能真正掌握「左右」,因此教師在評量上不要過於嚴苛。

代數

1-a-01
能在具體情境中,認識等號兩邊數量一樣多的意義。 N-1-02
A-1-01
說明: o 本細目為「檢查細目」,應併入整數教學單元中進行(參見1-n-04),不應另立單元教學。
o 當學童的合成分解經驗較成熟後,就可以知道一堆花片,作不同的分解時,總量仍相同,再記錄成橫式。
o 例:10顆蘋果,可以想成7顆蘋果和3顆蘋果合起來,也可以想成5顆蘋
果與5顆蘋果合起來,因此可以將結果記成:7+3=10及5+5=10,所以7+3=5+5。
o 如果能建立學童等號兩邊數量相等的觀念,日後在處理等量公理時,就會容易許多。
o 在教學中建立此觀念即可,教師不要涉入太形式算式的評量。
1-a-02 能在具體情境中,認識加法的交換律、結合律,並運用於簡化計算。 A-1-03
說明: o 本細目為「檢查細目」,應併入整數教學單元中進行(參見1-n-04),不應另立單元教學。「交換律」與「結合律」的名詞建議不出現在四年級(包括四年級)以前的教學與課本中。
o 例(加法交換律):小明左口袋有3顆糖,右口袋有4顆糖,要計算總量時,知道不論左口袋加右口袋得3+4,或右口袋加左口袋得4+3,結果都一樣。學童也可能在合成分解活動中,理解此事實。
o 例(加法結合律):學童可以在具體情境中理解當計算「小明有3顆糖、小華有4顆糖、小麗有7顆糖,合起來共有多少顆糖?」的問題時,發現可以先算3顆糖和7顆糖合起來有10顆,再算和4顆合起來有14顆。

1-a-03 能在具體情境中,認識加減互逆。 A-1-04
說明: o 本細目為「檢查細目」,應併入整數教學單元中進行(參見1-n-04),不應另立單元教學。「加減互逆」一詞建議不出現於教學或課本中。
o 兒童在合成分解的情境中,了解7個花片和6個花片可以合成13個花片,也知道13個花片拿掉6個剩下7個花片,13個花片拿掉7個剩下6個花片。
o 例(參見1-n-04):「小華有5元,牛奶糖一盒要12元,小華還需要多少錢才能買一盒牛奶糖?」雖然這個問題的敘述是一個加法型的問題,但是欲求的答案並不是和,學童透過合成分解之解題活動得到答案是7,同時進一步知道12-5之答案也等於7,而獲得原題目之求解可以透過12-5之運算得到答案之經驗。
o 暫不強調較形式層次的加減互逆(參見2-a-02),但可做練習。
o 加減互逆為等量公理的一種表現形式。

統計與機率

1-d-01 能對生活中的事件或活動做初步的分類與紀錄。 D-1-01
說明: o 讓學童自由發揮,允許學童多元的分類與記錄方式,只要能夠將資料加以整理即可。
o 例:班上的男女同學數;班上同學的出生月份;對給定不同顏色色紙的分類;班上同學最喜歡卡通的紀錄;班上工作分配的人數列表;幾何形體教具的分類(參見1-s-02)。上課的課表,也是一種表格紀錄的方式,應鼓勵學童製作。

1-d-02 能將紀錄以統計表呈現並說明。 D-1-01
說明: o 讓學童將分類與數量的紀錄,製作成表格式統計表。
o 例:小明利用下列其中一種表格將書包裡面鉛筆、剪刀及書本的個數記錄下來。



(二)二年級

數與量

2-n-01 能認識1000以內的數及「百位」的位名,並進行位值單位換算。 N-1-01
說明: o 參見1-n-01、1-n-02。
o 新增位值單位為「百位」,並認識100、10和1彼此之間的關係。
o 學生可以使用已習得的整數的讀音和記法來類推新數量,不過教師在引進新數、建立數詞序列時,需注意學生對於不可類推的數字,例如:99→100→101,109→110→111…等的相關學習活動。
o 此時位值單位的換算可讓學童進行如4個「百」16個「十」可以換成5個「百」6個「十」,也就是560個「一」,記成「560」。
o 學童在二年級宜逐漸脫離以數數來認識所有數的習慣,應能彈性結合位值與局部數數,作為計算上的一種策略,例如用數數計算「199+3」或「301-3」等。

2-n-02 能認識錢幣的幣值有100元、500元等,並作10元與100元錢幣的換算。 N-1-01
N-1-02
說明: o 參見1-n-02。
o 先認識錢幣(1元、5元、10 元、50元、100元、500元)與1元的互換基礎,慢慢理解10元相當於兩個5元硬幣,50元相當於五個10元等事實,進行錢幣之間的換算,並讓學童嘗試不同的組合方式。

2-n-03 能用<、=與>表示數量大小關係,並在具體情境中認識遞移律。(同2-a-01) N-1-01
A-1-01
說明: o 1-a-01只是等號關係的初步認識,二年級應確立等號兩邊數量相等的觀念。這不但有助於學童建立良好的列式習慣,也是等量公理的前置經驗。
o 在介紹「<」或「>」的符號時,可讓學童知道開口位置的數比較大,尖點位置的數比較小。
o 「遞移律」一詞建議不出現於教科書或教學中。
o 例(初步):知道小明與小英的糖果一樣多,小英和小華糖果一樣多,那麼小明和小華的糖果就一樣多。
o 例(進階):延續1-a-01等號兩邊數量一樣多的意義,知道因為4顆蘋果和5顆蘋果合起來,與2顆蘋果和7顆蘋果合起來都是9顆蘋果,因此4+5=2+7,同理若知道2+7=2+3+4,因此就可以推得4+5=2+3+4。
o 例:知道小明比小華矮,小華比小英矮,所以小明會比小英矮。
o 例:能說明為什麼小明的糖果比小英的糖果多,小英的糖果比小華糖果多,所以小明的糖果是三個人中最多的。

2-n-04 能熟練二位數加減直式計算。 N-1-02
N-1-05
說明: o 在一年級只做加減法的直式紀錄,並未說明其原理。二年級可運用合成分解,解釋加減直式計算的原理,知道直式計算的書寫方式是利用不同位值來表達數字的意義,並理解進位、借位的意義。建議可使用錢幣的情境,來教導加減法直式計算。
o 加減直式計算是具一般性的優越格式,但是教師仍應強調彈性使用其他加減策略的時機,避免讓加減直式計算變成唯一壟斷的解題方式。例如除非是作為說明進位或借位的範例,否則在計算199+2或50-2時,可以用簡單的數數、心算、分解即可解題,沒有必要用直式來計算。
o 學習加減直式計算的順序應由淺入深,從無進位、無借位的情況開始,直到雙重進位之加法。由於雙重借位的減法較難,在三年級才進行。在直式計算中,應多運用心算(參見1-n-05)。
o 採用從個位加起的直式計算法,主要的考慮在於計算的負擔較輕、出錯的可能性較小,而且加減法都適用。

2-n-05 能作連加、連減與加減混合計算。 N-1-02 N-1-03
o 這是1-n-06的延伸,處理一般的加減混合計算,總運算步驟二到三步驟即可。
o 在練習連加法的直式計算時,鼓勵學童用心算來協助計算,這是乘法直式計算的基礎。
2-n-06 能理解乘法的意義,使用×、=作橫式紀錄,並解決生活中的問題。 N-1-03
說明: o 乘法是小學整數教學的重點,其核心為排列模型的理解與九九乘法的熟練
(參見2-n-08)。
o 在二年級裡,應先以連加(參見2-n-05)、幾個一數(參見1-n-07)為乘法的前置經驗。在認識「倍」的概念後(例如:7個2是2的7倍,可以記成2×7=14),讓學童認識乘式的記法中「被乘數」、「乘數」及「積」的位置。再作較小數字的乘法練習,慢慢養成心算的習慣,然後開始練習九九乘法(參見2-n-08)。二年級也應該能計算二位數乘以一位數的乘法(如23×3),雖然在計算上為連加,但必須用乘法橫式來記錄。
o 乘法的「倍」的意義,是乘法問題中最容易入手的一種。但乘法教學的常見困難也在於,用算式記錄「倍」時是不對稱的,而乘法卻滿足交換律,因此經常造成教學上的困擾。採用下列陣列型的乘法問題情境,可以協助孩子乘法交換律的學習,減輕這種困擾:
(1)先讓學童用花片排成下圖(例:5個一數)。

(2)在「幾的幾倍」的解題活動中(這時的問題,例如「1排學生有5個人,4排學生,有幾個人?」),持續將學童的解題與排列模型連結起來。並將問題中的「單位」(例如「排」)對應起來(例如圈起來)。

(3)用「5個人的4倍是多少?」之類的問題,來檢查學童是否能直接從問題,將5個人視為一單位。
(4)若(3)已檢查,則可以用排列模型來討論乘法交換律,這時學童應能從排列模型理解「5個人的4倍」與「「4個人的5倍」一樣多。

(5)在這段教學過程中,如果教師想確定學童是否了解題意,可以暫時要求學童加上物體的計數單位(例如:5顆×4=20顆)
o 教師應領會排列模型之於乘法,與合成分解模型之於加減法,是最本質又互相融洽的兩個模型,在解題、概念理解、掌握運算性質(參見2-a-03, 3-a-02)、推理上都有相當多的好處。因此在教學上要有意識地向排列模型過渡。乘法的「倍」的意義不是乘法意義的全部。教師要確定的是在解題情境中,學童能正確地說明其算式的意義,但是在解題的程序上,終究要允許學童運用任何策略來計算。舉例來說,「一枝筆3元,24枝筆要多少錢?」,學童應能依照約定列出「3元×24」或「3×24」,但若學童理解交換律,在計算時將問題轉換成「24×3」,並用連加法24+24+24=72,應視為正確(假設學童還不會乘法直式計算),這比讓學童將3連加24次,更值得鼓勵。
o 在乘法教學中,若要檢查兒童對所給定的乘法算式是否理解,可讓學童練習擬出對應的生活應用情境。
2-n-07 能在具體情境中,進行分裝與平分的活動。 N-1-04
N-1-06
說明: o 這是除法的前置活動,學童可能用連減、連加或乘法的策略解題,但最後應熟用乘法來解題。暫時不引入含除號的紀錄,並只處理能分盡(無餘數)的情形。
o 「分裝」的活動,指如「24顆蘋果,6顆裝一盒,可以裝多少盒?」的問題。
o 「平分」的活動,指如「24顆蘋果平分給6人,每人分得多少顆?」的問題。
2-n-08 能理解九九乘法。 N-1-06
A-1-03
說明: o 在恰當教學時機,應引導學生討論「1的乘法」。
o 從學習乘法開始,就要練習九九乘法。在二年級結束前,學童應理解九九乘法。另外,學童也應熟悉被乘數與乘數為10的基本乘法。
o 鼓勵學童練習九九乘法表中,如:2、4、6…;3、6、9…;5、10、15…等數列樣式,作為認識因數、數列的前置經驗。
o 可以讓學童討論九九乘法表中對角線的部分,即2×2、3×3、4×4、5×5、…、9×9。例如:利用正方體積木排出3×3的陣列模型,可排出一排有3個,排3排,接著探討變成4×4的排法。
o 可進行例如「24可以拆成多少乘以多少」的活動,學童從各種拆法中(3×8,4×6,6×4,8×3),可以慢慢觀察到乘法交換律的事實,這也是因數分解的前置經驗。
o 在九九乘法的教學中,藉著觀察九九乘法表,讓學童認識乘法可以交換的性質,進而認識九九乘法表只要知道一半的式子即可。

2-n-09 能在具體情境中,解決兩步驟問題(加、減與乘,不含併式)。 N-1-08
說明: o 在日常生活的自然問題中,引入兩步驟問題。學童在解兩步驟問題時,應能將各步驟分開記錄,二年級時不處理併式的問題。
o 例:「一打鉛筆有12枝,老師原有5枝鉛筆,又買了3打鉛筆,老師現在有多少枝鉛筆?」。一開始,學童先學習讀懂題意,分段解決這個問題,如先做12×3=36,再做5+36=41。
o 例:「一盒水果軟糖中,橘子口味的有5顆,檸檬口味的有3顆,小明買了6盒,請問小明共有多少顆水果軟糖?」,這個問題可以先算每盒有5+3=8顆軟糖,再算總共有8×6=48顆軟糖。

2-n-10 能在平分的情境中,認識分母在12以內的單位分數,並比較不同單位分數的大小。 N-1-09
說明: o 分數教學應盡量利用學童對平分與公平的直覺,在學習上應從最容易的「對分」(一半)、「對分再對分」(四分之一)開始,在這種情況,學童也比較可以操作。原則上,應不要將教學時間用在學習等分實際物品的操作上,例如不要求學童實際將一條繩子平分成6份,可透過已經先標記好平分成6份的一條繩子,學童依舊可以理解 16。但可加入判別等分的教學活動。
例:如下圖,將繩子分成6份,請問其中一段是否為16,請解釋其理由?

o 分數教學有兩種常用模型:「圓形模型」(如披薩)與「線形模型」(如繩子、直尺)。前者比較沒有溝通上的干擾,適合教學;後者因為與測量有關,也很重要。兩者皆應發展。
o 先從12、14、18等較容易平分的量入手,知道12個披薩就是「半個披薩」,14個披薩就是「半個披薩的一半」。然後再學習13、15、…、112等一般分母的單位分數。
o 學童應學會「二分之一」、「三分之一」…的說法,並知道「三分之一」個披薩,就是將一個披薩平分成3片其中的1片,「三分之一」條緞帶,就是將一條緞帶平分成3段其中的1段。並知道「三分之一」個披薩3塊合起來是一個披薩。「三分之一」條緞帶3段合起來,是一條緞帶。
o 作單位分數大小比較時,在感官辨識上,並不容易區分分母較大之單位分數的大小,但從平分的情境中,以分母較小的單位分數比較為基礎,學童應能推理得知一個披薩平分給3人,每人所得到的披薩會比平分給5人的時候多,所以,13個披薩>15個披薩。
o 也可以與1-n-08中,所謂「半點鐘」相連結。
2-n-11 能認識鐘面上的時刻是幾點幾分。 N-1-13
說明: o 1-n-08的時鐘報讀是以「半個鐘頭」為單位。二年級先利用鐘面上小刻度位置所對應的幾分時刻,進行幾點幾分的報讀;再由「五個一數」,知道鐘面上的數字所對應的幾分時刻,進行鐘面時刻的有效報讀。教學上應讓學童與長度測量之刻度尺相連結。
o 在報讀鐘面時刻的活動中,配合連續撥鐘活動進行「7點55分的時針接近8,但還不到8點」、「8點5分是時針接近8,但超過8點」的練習,協助學童掌握時針所在位置代表的正確數值。

2-n-12 能認識「年」、「月」、「星期」、「日」,並知道「某月有幾日」、「一星期有七天」。 N-1-13
說明: o 學童藉查看年曆,認識一年有12個月,以及各月的日數、每星期的日數,並藉由二月份日數的不同,區分「平年」、「閏年」。
o 例:藉由查看月曆,點算7月加8月的總日數。
o 例:藉由查看月曆,點算暑假的天數。
o 例:知道每月至少有(大概有)4星期。
2-n-13 能理解用不同個別單位測量同一長度時,其數值不同,並能說明原因。 N-1-15
說明: o 這是單位換算的前置經驗,透過合成分解的活動,理解不同單位間換算的模式(亦稱「化聚」)。在所有量的學習時,都應做本細目的活動,不僅限於長度。
o 例:假設分別以一手臂長度(指尖到手肘的長度)和一個手掌長度(拇指到小指張開的長度)來測量書桌的長度時,書桌的長度分別和「2個手臂長度合起來」、「6個手掌長度合起來」一樣長。學童對於「2」和「6」的不同,應能說明是因為一個手臂長度和一個手掌長度不同。並且知道2之所以小於6的原因,是因為一個手臂長度大於一個手掌長度。
o 例(續上,參見1-n-10):應討論如果講桌的長度相當於「6手臂長度合起來」,那麼在不去作實測的情況下,學童是不是能知道講桌的長度相當於多少個手掌長度合起來呢?(這只是討論題,在評量上不用強調)

2-n-14 能認識長度單位「公分」、「公尺」及其關係,並能作相關的實測、估測與同單位的計算。 N-1-16
N-1-17
說明: o 量的教學初期應避免同時引入兩個量。建議在二年級上學期,介紹「公分」並做實測、估測與計算。下學期再介紹「公尺」,除了實測與估測外,也引入單位換算與相關計算。
o 認識刻度尺上的刻度結構是學生建立一公分量感的入口,可引導學生測量身體的部位,如量身高、手指的寬度,作為以後公分量感估測的基礎。
o 刻度尺的使用應注意「對齊0」,再報讀尺上對應的數字,此時不強調毫米的刻度,僅就公分刻度做判讀。所測量物體如果不是整數公分單位,則以「大約多少公分」做報讀。
o 可引導學生討論:如果是一把斷掉的尺,無法從0對齊時,若所測量的物體是從刻度5到8,則這個物體有3公分長亦即5到6是1公分;6到7是1公分;7到8是1公分,共3公分。而非點尺上的數字5、6、7、8,長度為4公分的迷思概念。
o 例:一個箱子高50公分,則3個箱子疊起來是50公分 ×3=150公分(參見2-n-06)。
o 學童在認識「1公尺=100公分」的關係並理解其意義後,知道可利用單位換算,記錄測量值。例如:小明的身高為123公分或記成1公尺23公分。
o 量的估測活動不是實測的近似值,而是培養量感的活動,在原則上不用正式測量工具的條件下,「估測」量的大小,因此量的估測與量的經驗很有關係。有好的量感,對日常生活很有助益,但是估測教學就數學課程而言並不宜過分評量。
o 做估測活動時,應注意單位的合理性。例如二年級的學童只學過整數,因此用公尺來估計人的身高並不合適,但是如果結合公分,則為適當。
o 例:學童可以用目測,也可以用步測來估計教室的長度大概有10公尺長。
o 例:同學可以用指幅、掌幅與自己的身高估測同學的身高。
o 例:估測同學的鉛筆有多長。
2-n-15 能認識容量,並作直接比較。 N-1-14
說明: o 量的教學請參見附錄中「量與實測」的主題說明。
2-n-16 能認識重量,並作直接比較。 N-1-14
說明: o 量的教學請參見附錄中「量與實測」的主題說明。
o 小學所學的七種量中,「重量」、「時間」是比較不一樣的量,其他五種量都與視覺或幾何感有關,比較能做直接比較。但是「重量」完全依賴於身體的感覺,因此直接比較,只能用手(單手測量兩次或左右手同時)經驗重物與輕物的差別(兩物的重量不宜過近),不然就得借助天平的機械裝置。

2-n-17 能認識面積,並作直接比較。(同2-s-05) N-1-14
S-1-03
說明: o 量的教學請參見附錄中「量與實測」的主題說明。。

幾何

2-s-01 能認識周遭物體上的角、直線與平面(含簡單立體形體)。 S-1-03
說明: o 例:指出課桌的角、直線與平面的所在,並能使用「角」、「直線」與「平面」的名詞與人溝通。
o 應進行在簡單立體形體中(參見1-s-02),認識「角」、「邊」與「平面」的教學活動。

2-s-02 能認識生活周遭中水平、鉛直、平行與垂直的現象。 S-1-07
說明: o 例:觀察傾斜的裝水透明正方體容器(例如:1公升的正方體透明容器)中的水平面、容器底面與鉛垂繩子三者之間的關係。
o 先認識水平與鉛直的概念。再透過觀察桌腳與地面、牆角、樑柱、各式窗格、欄杆、圓柱的軸向等,認識垂直與平行的現象。希望學童能注意到窗格垂直與切蛋糕四等分的方式相同、平行大致上是寬度相同的意思、從窗格觀察到垂直與平行間的關係。

2-s-03 能使用直尺畫出指定長度的線段。 N-1-16
S-1-02
說明: o 單位限「公分」,直尺長度小於15公分。
o 基本上在學習使用直尺畫線。由於學童手部肌肉尚未發展成熟,教師不宜過度評量。
2-s-04 能畫出兩點間的線段,並測量其長度。 N-1-16
S-1-02
說明: o 本細目在讓學童體會兩點決定一直線,並可度量其距離的事實,但在教學上不必提及這些性質(參見1-n-10)。
o 學童可先運用直尺,在兩點間做一線,再進行測量,測量長度不超過15公分。

2-s-05 能認識面積,並作直接比較。(同2-n-17) N-1-14
S-1-03


2-s-06
能由邊長關係,認識簡單平面圖形與立體形體。 N-1-16
S-1-01
說明: o 例:由實測邊長,知道邊長相等的幾何形體有正三角形、正方形、正方體。

代數

2-a-01 能用<、=與>表示數量大小關係,並在具體情境中認識遞移律。(同2-n-03) N-1-01
A-1-01


2-a-02 能將具體情境中單步驟的加、減問題列成算式填充題,並解釋式子與原問題情境的關係。 A-1-02
說明: 例:「小明原有8張怪獸卡,又獲得幾張怪獸卡之後,總共有13張怪獸卡?」,學生能將題目列成8+( )=13,且能說明式子和題目之間的關係。
當學生具有充足的學習經驗之後,教師可引入如被加數未知、被減數未知等不同題型之算式填充題,讓學生列式並解釋式子和題目之間的關係。
本細目主要為發展兒童列式之能力,問題中之數量、情境描述應配合學生的認知發展。

2-a-03 能在具體情境中,認識乘法交換律。 A-1-03
說明: o 本細目為「檢查細目」,應併入整數教學單元中進行(參見2-n-06,2-n-08),不應另立單元教學。「乘法交換律」一詞建議不出現在四年級(包括四年級)以前的教學與課本中。
o 兒童在解「一排有7個人,4排有幾個人?」的問題時,他可以看成一排有7個人有4排得7×4,或一列有4個人有7列得4×7,結果都一樣(參見2-n-06)。
o 認識乘法交換律以後,知道九九乘法表中有一半的乘法事實可以透過交換律得到(參見2-n-08)。

2-a-04 能理解加減互逆,並運用於驗算與解題。 A-1-04

說明: o 本細目為「檢查細目」,應併入整數教學單元中進行(參見2-n-04),不應另立單元教學。「加減互逆」一詞建議不出現在教學與課本中。
o 與1-a-03的主要差別是,這裡不再涉入具體情境,應該用比較形式的方式應用加減互逆,來作加減算式的驗算或解題。
o 例:「小華有5元,牛奶糖一盒要12元,小華還需要多少錢才能買一盒牛奶糖?」學生可依題意列出5+( )=12,並透過12-5的算式解決問題。
o 也可開始引入下列題型,作為學童練習「加減互逆」的題型。學童不了解如何解題時,教師可以提供具體的解題情境,讓學童運用在具體情境中的解題方式。例:18+( )=27,22-( )=14,( )+12=30,( )-25=10。

(三)三年級

數與量

3-n-01 能認識10000以內的數及「千位」的位名,並進行位值單位換算。 N-1-01
說明: o 參見1-n-01,2-n-01,2-n-02。
o 新增位值單位為「千位」,並認識1000、100、10和1彼此之間的關係,例如知道「千」是10個「百」。
o 例:位值單位的換算可讓學童進行如知道15個「百」是1個「千」5個「百」。
o 應認識1000元的錢幣,並進行錢幣換算之活動(參見2-n-02)。
3-n-02 能熟練加減直式計算(四位數以內,和<10000,含多重借位)。 N-1-02
N-1-05
說明: o 參見2-n-04。本細目旨在檢查三年級應熟練加減直式計算(包括連加法)。
o 熟練的意義,包括學童能流利應用心算來計算連加的直式計算。
3-n-03 能熟練三位數乘以一位數的直式計算,並解決二位數乘以二位數的乘法問題。 N-1-02
N-1-07
說明: o 在恰當教學時機,應引導學生討論「0的乘法」。
o 三年級學習乘法直式計算的程序,由淺入深,順序如下:
(1)在二年級已完成九九乘法,並以橫式記錄;三年級一開始,先將九九乘法用直式來表示。
(2)二位數乘以一位數(例如32×6),學童應理解其意義(32×6是30×7與2×6的和)。
(3) 三位數乘以一位數,教師引用(2)的經驗,說明計算的意義與規則即可,讓學童自行熟練。
(4) 二位數乘以10的倍數(如10、20、30等)。學童應理解其原理,並與(2)相結合。這裡雖隱含乘法結合律,但不用強調。
o 三年級結束前應理解二位數乘以二位數(例如34×25)的直式計算的意義。學童應理解34×25是34×20、34×5的和,其中34×5可以配合(2)的經驗,34×20可以配合(4)的經驗,在學童熟悉此原理並能解決問題後,再將其以直式來記錄。

3-n-04 能理解除法的意義,運用÷、=作橫式紀錄(包括有餘數的情況),並解決生活中的問題。 N-1-04
說明: o 以2-n-07的前置經驗,在「分裝」與「平分」兩種不同的情境中,理解除法的意義,並知道除式的記法。
o 理解商與餘數的意義,並能由餘數判斷是否整除,知道餘數要小於除數的約定,以及被除數減餘數後就可以被整除的事實。
o 知道除式記法中「被除數」、「除數」、「商」的位置,並知道如何記錄「餘數」。記法為「32 ÷6=5…2」。
o 關於除法的日常生活問題,要特別小心餘數的處理。例:「全班35個小朋友搭遊覽車作校外活動,每排座位坐3個小朋友,請問全班小朋友坐了幾排座位?」,這時的答案不是11排而是12排,因為剩下的2個小朋友也需要坐一排。但是如果問題換成「35顆巧克力糖平分給3個小朋友,每個小朋友可分得幾顆?」,由於問題強調平分,所以答案是每個小朋友分得11顆,當然學童應注意到還有2顆剩下來。
連結量與實測之長度測量的活動於除法單元中。如線段問題:把一條長8公分的緞帶,以每2公分剪成一段時,可剪成四段(包含除)。可讓學童用2公分做測量單位進行實測,來求出答案。亦可以將題目改為:把一條長8公分的緞帶,分給4個人,每人可以得到多長的緞帶?(等分除)
o 要連結「分裝」(包含除)與「平分」(等分除),可以運用2-n-06中的排列模型,本質上是乘法交換律。
o 在「平分」的情境中,理解「先處理大數,再處理小數」的訣竅,例如36個平分為3份時,可先將30個平分成3份得10個,再將6個平分成3份得2個,所以總共平分得12個。這是理解除法直式計算及分數除法(例:10÷3=313)的前置經驗。
o 三年級除法教學也應該理解簡單的連續量除法(也可在3-n-07 或 3-n-09中進行)。例(等分除):「有一條緞帶長40公分,平分給4個小朋友,每個小朋友的緞帶是多長?」,學童不只要能計算40÷4=10,也應理解在此情境中平分的意義。例(包含除):「有一條緞帶長40公分,每10公分剪一段,可剪成多少段?」,學童不只要能計算40÷10=4,也應理解此問題相當於用10公分為單位,去測量此緞帶(例如先做標記再剪斷)。
o 在除法教學中,若要檢查兒童對所給定的除法算式是否理解,可讓學童練習擬出對應的生活應用情境(包含餘數的處理)。

3-n-05 能熟練三位數除以一位數的直式計算。 N-1-04
N-1-07
說明: o 學習除法直式計算,以九九乘法的熟練為軸心,熟練估商的技巧(其前置經驗為2-n-07)。三年級除法直式計算的大致進程如下:
(1)在2-n-07的九九乘法範圍中,學習兩位數除以一位數的除法直式紀錄方式,這時是可整除的情況。
(2)兩位數除以一位數,且商為一位但有餘數的情形(例:28÷3、39÷6),熟練運用九九乘法來估商,並能計算餘數。
(3)兩位數除以一位數,且商為兩位但可能有餘數的情形(例:36÷3、78÷5),知道兩位的商出現的原因(參見3-n-04「先處理大數,再處理小數」的說明),並知道如何用九九乘法估商的十位數(不要用分配律來說明)。應讓學童徹底理解這個情況裡,除法直式計算記法的意義。
(4)處理被除數為三位的情況,教師不需要每次都討論其意義,但應清楚讓學童知道,整個計算方式只是(3)的延伸。
o 除法計算對此階段的學童來說較困難,整個除法直式的熟練,應到四年級,評量上應多分析學童發生錯誤的原因,不要過於嚴苛。

3-n-06 能在具體情境中,解決兩步驟問題(加、減與除,不含併式)。 N-1-08
說明: o 繼續2-n-09,進行兩步驟的解題,只是多了除法。包括除法的兩步驟問題,必須特別小心餘數的處理(參見3-n-04)。
o 例:「園遊會需要8公分的短緞帶打成小花結來裝飾,小麗已經有20個小花結,但是還不夠,小明再找來240公分長的長條緞帶,用剪刀剪成短緞帶,請問總共可打成多少個小花結?」,算式先做240÷8=30,再算20+30=50。這題也可改成245公分的長條緞帶,學童應知道不必處理多餘的部分。
o 例:「園遊會需要8公分的短緞帶打成小花結裝飾,小明找來300公分長的長條緞帶,準備用剪刀剪成短緞帶,但是隔壁班要走了100公分的緞帶,請問剩下的緞帶總共可打成多少個小花結?」,算式是300-100=200,200÷8=25。
o 在兩步驟問題中,也可以出些簡單的區間問題,增加學童解題的經驗,但由於此種題型無法直接從數字進行計算,仍須經過思考轉換,所以題目上的數字不宜太大,將焦點擺在思考的訓練上。例:「小英幫班上布置園遊會會場,她想在一條6公尺長的彩繩上,每隔2公尺綁上一個小花結,首尾都要有,請問小英需要多少小花結?」,算式是6÷2=3、3+1=4。
o 例:「小華要在60公分的花繩掛4個鈴鐺,由於花繩兩端要固定在牆上,不掛鈴鐺。如果小華希望鈴鐺能平均地掛在花繩上,也就是兩相鄰鈴鐺的距離及鈴鐺與端點的距離都要一樣,那麼距離應該是多少呢?」,教師應先說明題意。

3-n-07 能由長度測量的經驗,透過刻度尺的方式來認識數線,標記整數值,並在數線上作比較、加、減的操作。 N-1-11
N-1-12
說明: o 學童在有了長度測量的經驗之後,數線在此時可適時引入。數線是統整所有數系及幾何的重要基礎,應讓學童慢慢學習數線的使用。
o 數線初步引入時,只是像尺一樣的半線,左邊以0為起點,但右邊不做限制。在學童對數線還不熟悉時,可以暫時用刻度尺的方式去解釋,但要讓學童意識到數線與一般尺稍有不同,譬如可以把數線想像成一把很長的尺。
o 數線概念最重要的概念是數與點的對應,例如數線上的「1」除了代表在數線上的位置是1,也代表與原點的距離是1。
o 日常生活中也有許多數線的具體例子,例如高速公路上在連續兩里程碑之間以0.1至0.9的小牌、離起點49公里的交流道等?
o 以1-n-10長度的合成分解為前置經驗,以刻度尺為例,學童應理解在刻度尺上如何模仿離散量,做加與減的具體操作。
o 在此後不斷學習新的數量時,也要同時強調這些操作,讓學童最後能將各種數匯聚到數線上。

3-n-08 能在具體情境中,做三位數以內的加減估算,並用來檢驗答案的合理性。 N-1-02
說明: o 估算教學請參閱附錄中「估算」的主題說明。
o 估算是比較高層次的數學能力,在教學時,首先應確定學童有正確計算的能力,並透過恰當的問題,來訓練學童的估算能力,讓學童在日常應用中,能有判斷的依據。教師不宜在評量時,直接要求標準答案,也切忌認為使用正確計算的學童是錯誤的。評量以利用排除錯誤答案的方式來進行比較恰當(見後例)。
o 三年級學童已理解加減法的意義,可以在具體情境中,引入估算的問題,並使用「大約」、「大概」、「差不多」等語詞。
o 加減估算教學,先從加減法的較大位數估算入手。由合成分解情境,捨去十位以下的數,知道25+32會比50大,不可能是40多。反過來知道和不可能多於70。並將估算結果記錄為50 < 25+32 < 70。
o 例:小明有250元,小華身上有400多元,他們可以合買一套800元的漫畫嗎?小明的錢不到300元,小華的錢不到500元,因此他們的錢不可能湊足800元。
o 例:754-274=( ),請問下列答案中,何者最靠近正確答案
(1)200 (2)500 (3)700?
o 在上述的估算熟練後,也可以估算如299+305,告訴學童估成300+300比估成200+300恰當的理由。但暫時不宜碰觸四捨五入的課題。
3-n-09 能在具體情境中,初步認識分數,並解決同分母分數的比較與加減問題。 N-1-09
說明: o 在三年級應初步認識分數的意義,並能理解在日常生活中使用分數的溝通方式。本細目的目標在於,學童從具體情境或活動中掌握分數的概念,能學會分數的記號,並理解運用分數記號來記錄同分母分數的比較與加減的方式。評量時不以形式記號之操作為目標,形式計算應留到四年級之後。
o 這裡的分數並未限制在真分數,其目的在於避免以後分數教學的限制。但是由於日常生活的分數使用,常常用到小於1的分數,因此在三年級多強調真分數的部分是自然的,但是教師不必自限於真分數。本細目在評量時,學童應能完成的幾項目標,分列如下:
o 以平分為基礎的活動(連續量):
(1)知道「一個披薩的四分之三」或「一個披薩的34」是將一個披薩平分成4片後,取其中的3片,因此相當於14個披薩取3片,記成「34個披薩」,並能說明分子、分母的意義。

(2)由於學童在(1)中已學過34個披薩是一個披薩平分成4片後,取其中的3片,而「24個披薩」也是同樣的意思,因此學童可以了解「34個披薩」比「24個披薩」多的原因,亦即學童可以學習比較同分母分數的大小。同時,透過〝一半〞的語言,也能說明為什麼「24個披薩」就是「12個披薩」。

(3)由於學童在進行同分母分數的大小比較時,常常只以分子的大小比較作為解題策略,亦即學童只用整數的大小比較就可以答對,因此亦誤使教師以為學童的學習情況良好,但學生常常沒有注意這必須是在相同的單位量下才可以使用此策略,因此建議增加下列二類活動以澄清學童對分數概念及同分母分數大小比較的了解。
例:「1盒餅乾有8片,分給小志和小英,小英得到 盒,小志得到2片,請問誰得到比較多的餅乾?」,以檢驗學生是否知道 盒是3片(將8片平分成8等份後的3等份),所以 盒比2片多。
例:「哥哥有8個蘋果,姊姊有16個蘋果,哥哥吃掉自己全部蘋果的 ,姊姊吃了自己全部蘋果的 ,請問誰吃的蘋果個數比較多?」,以檢驗學生是否注意到不同單位量的影響。同樣的,上述活動均讓學生透過將蘋果平分成幾份再取幾份的方式,以具體量作比較。

(4)(討論活動,不宜評量)例:「有8個小朋友到披薩屋吃披薩,由於餐廳人擠,有5個小朋友坐在一張大桌子,3個小朋友擠另一張小桌子,他們共點了2個披薩要平分,要怎麼分?」

首先學童要能先理解,8個人分2個披薩,相當於4個人分1個披薩,也就是每人分14個披薩。如果披薩已經4等分切好,大桌子的小朋友要拿走14個披薩共5片,擴張(1)的解釋,可將此記為「54個披薩」(教師要強調「個披薩」的單位才能化解小朋友誤認為58的問題)。並且讓學童討論「54個披薩」其實就是「1個披薩再加上14個披薩」,也要討論「54個披薩」再加上另一桌的「34個披薩」就是「84個披薩」,也就是「2個披薩」。在三年級只要做這樣的活動即可,較一般的解釋則留到四年級(參見4-n-06)。
上述例子除了分數日常使用的約定外,也應將牽涉到的運算記錄下來(只是記錄,不宜評量)。例如:
「34個披薩>24個披薩」,並簡記為34>24;
「24個披薩=12個披薩」,並簡記為24=12;
「54個披薩=1個披薩+14個披薩」,並簡記成54=1+14;
「54個披薩+34個披薩=84個披薩=2個披薩」,並簡記成54+34=84=2。
o 以平分為基礎的活動(離散量):
(1)例:知道「30元的二分之一」意指30元的一半,也就是30元除以2的溝通約定(這只是針對「平分」的合理解釋,是30元×12 的前置經驗,但並不相同)。
(2)例:知道「32顆葡萄的四分之三是24顆」,意指將32顆葡萄平分成四份(每份32÷4=8顆),再取其中的三份(得8×3=24顆)。
o 部分與全體的活動(離散量):
(1)例:知道「小明有一盒巧克力,他自己要留一半,其他再平分給小麗和小華。」,意指小麗與小華會各得「全部巧克力的14」,小明自己則保留「全部巧克力的一半」或「半盒」。並知道「這盒糖果我們四個人各分四分之一」的意思,意指將盒中的糖果平分給四人的意思。
(2)例:知道「一盤水果有6顆蘋果,小明拿走2顆蘋果,相當於拿走了全部蘋果的26。」,並知道2顆蘋果佔6顆蘋果的26,也就是13。也知道若將1個披薩平分成8片,則2片佔全部的28,也就是14;也可問下列深色區域是全部圖形的幾分之幾(參見3-s-06)。

o (進階討論,有恰當時機再進行,不宜評量)還可以在具體情境中(例如分披薩),討論自然的分數問題。例:「如果一餐吃13個披薩,1個披薩可以吃幾餐?」、「如果2個披薩平分給3個人,應該怎麼分?」,不用做符號式的紀錄。

3-n-10 能認識一位小數,並作比較與加減計算。 N-1-10
說明: o 在處理連續量的脈絡中,連結數與測量,是理解小數的一種方法(例如使用有公分與毫米之刻度尺)。小數的學習不需要限制在1以內,因為這與測量的情境不符。
o 新增位值單位為「十分位」,位名的由來是由於110=0.1的關係。對於一位小數的讀法應注意,10個0.1合起來是1.0=1010=1,而非「零點十」。
o 在測量情境中,使用直尺(數線)上之加、減計算方式,以0.1為計數單位,來學習一位小數的記號與計算,再記錄成算式並練習(不限制在1以內),例如:知道2.1>1.9、12.1+1.4=13.5、10.1-0.8=9.3。
o 三年級學童已熟悉整數加減法與乘法直式計算,應學習一位小數(整數兩位)的加減直式計算。重點在熟悉小數點的意義,知道小數點區隔了整數和小數的部分,並理解在小數加減直式計算中要對齊小數點。

3-n-11 能認識時間單位「日」、「時」、「分」、「秒」及其間的關係,並作時或分同單位時間量的加減計算。 N-1-13
說明: o 能認識「1日=24時」、「1時=60分」及「1分=60秒」的關係。
o 例:能用馬表報讀同學跑50公尺,所用的時間(幾秒)。
o 能認識24小時制,知道15時20分就是下午3時20分。知道正午是12時0分,凌晨是0時0分,也是24時0分。
o 由於時間的計算,牽涉到時間單位的複雜進位(24進位、60進位)與數的10進位記數系統混合的問題,必須完全仰賴單位的換算,比其他量要困難。因此在三年級時,只宜進行「時」或「分」同單位時間量之加減計算。
o 例:知道現在的鐘面是5時53分,而且差7分就是6時。
o 例:媽媽說「我再過2小時會回來。」,現在時鐘是3時20分,請問媽媽什麼時候會回來?
o 例:小麗上學出門時是7時42分,走到學校時已經是7時55分,請問小麗從家裡到學校走了多少時間?
3-n-12 能認識長度單位「毫米」,及「公尺」、「公分」、「毫米」間的關係,並作實測與相關計算。 N-1-16
說明: o 認識「1公分=10毫米」、「1公尺=1000毫米」的關係。
o 毫米的引入應與小數教學相互加強。知道0.1公分(或110公分)就是1毫米,也應知道「2.1公分」就是「2公分1毫米」。

3-n-13 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同容器的容量。 N-1-15
說明: o 量的教學請參見附錄中「量與實測」的主題說明。
3-n-14 能認識容量單位「公升」、「毫公升」(簡稱「毫升」)及其關係,並作相關的實測、估測與計算。 N-1-16
N-1-17
說明: o 認識「1公升=1000毫公升」的關係。並知道日常生活的應用中,「毫公升」也常標記為ml與cc。
o 例:知道養樂多一瓶為100ml,並操作10瓶養樂多為1公升的活動。理解一瓶養樂多的容量是0.1公升或110公升。
o 例:小明的水壺可裝約8瓶半的養樂多水量,則小明水壺的容量約為100×8+50=850(cc或毫升)。

3-n-15 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同物體的重量。 N-1-15
說明: o 量的教學請參見附錄中「量與實測」的主題說明。
o 可在此細目中再進行一次遞移律的活動(參見2-n-03),由於重量不是一個視覺量(小的物品可能較重),特別適合討論遞移性。

3-n-16 能認識重量單位「公斤」、「公克」及其關係,並作相關的實測、估測與計算。 N-1-16
N-1-17
說明: o 認識「1公斤=1000公克」的關係。
o 例:知道全家人的體重,並能計算全家人體重的總和。
o 例:6公斤500公克的油,若600公克的油裝一瓶,共可裝滿10瓶,還剩500公克的油。
o 注意分辨「淨重」與「毛重」的差別。例:用洗菜籃裝蕃茄去秤重得1公斤,又洗菜籃為100公克,則蕃茄的淨重為900公克。

3-n-17 能認識角,並比較角的大小。(同3-s-04) N-1-14
N-1-15
S-1-03
說明: o 量的教學請參見附錄中「量與實測」的主題說明。
3-n-18 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同面積的大小,並認識面積單位「平方公分」。(同3-s-05) N-1-15
N-1-16
說明: o 量的教學請參見附錄中「量與實測」的主題說明。

幾何

3-s-01 能認識平面圖形的內部、外部與其周界。 S-1-04
說明: o 以周界(輪廓線)來區分平面圖形的內部、外部,強調平面圖形本身的封閉性質,並讓學童理解周界為該圖形的組成要素。
o 原則上,只考慮常見的平面圖形。不考慮如「環」狀圖形,也不處理複雜如螺旋形的圖形。

3-s-02 能認識周長,並實測周長。 N-1-16
S-1-04
說明: o 認識周長是平面圖形周界(輪廓線)的長度。這裡強調的是以實測的方式來測量周長,其精確度可到毫米。
o 實測對象以長方形等的簡單平面圖形為主。
o 當圖形形狀簡單時,例如正方形,且其邊長為整數或一位小數時(在三年級的限制下),也可透過連加或乘法來計算其周長。

3-s-03 能使用圓規畫圓,認識圓的「圓心」、「圓周」、「半徑」與「直徑」。 S-1-02
S-1-04
說明: o 圓規的針尖處是「圓心」,筆尖與針尖的距離是「半徑」,旋轉一周所畫出之圖形為「圓」(只考慮此曲線時為「圓周」)。知道圓心與圓周上任一點之距離皆等長(半徑)。若圓周上兩點連線過圓心,則此兩點的距離為「直徑」,是半徑的兩倍。
o 也可以讓學童理解,利用圓規筆尖與針尖間的距離為單位,來測量線段的長度。

3-s-04 能認識角,並比較角的大小。(同3-n-17) N-1-14
N-1-15
S-1-03


3-s-05 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同面積的大小,並認識面積單位「平方公分」。(同3-n-18) N-1-15
N-1-16


3-s-06 能透過操作,將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形。 S-1-05
說明: o 由1-s-04的前置經驗,可透過全等操作(平移、翻轉),將已分割之平面圖形,重組為另一已知的平面圖形。本細目的差別在於,學童必須自己推敲組成的方式。
o 本細目的另一重點為練習平面圖形的簡單切割,如將一個長方形切割成兩個三角形,再組合成一個平行四邊形。這可以讓學童同時學習平面的全等操作、面積的保留概念與分數。

代數

3-a-01 能將具體情境中單步驟的乘、除問題列成算式填充題,並能解釋式子與原問題情境的關係。 A-1-02
說明: 例如:小明有一些怪獸卡,平分給4人,每人得到3張怪獸卡。請問小明原有幾張怪獸卡?學生能將題目列成( )÷4=3,且能說明式子和題目之間的關係。
當學生具有充足的學習經驗之後,教師可引入如被乘數未知、除數未知等不同題型之算式填充題,讓學生列式並解釋式子和題目之間的關係。
本細目最主要為發展兒童列式之能力,問題中之數量、情境描述應配合學生的認知發展。

3-a-02 能在具體情境中,認識乘除互逆。 A-1-05
說明: o 本細目為「檢查細目」,應併入整數教學單元中進行(參見3-n-04),不應另立單元教學。「乘除互逆」一詞建議不出現在教學或課本中。
o 例:在「一包口香糖有12片,8包口香糖有幾片?」的問題中,兒童能理解12的8倍是96,也知道96平分成8份是12(等分除),以及96片口香糖,12片裝一包,可裝8包(包含除)。
o 暫不強調較形式乘除互逆的熟練(參見4-a-03),但可做練習。

統計與機率

3-d-01 能報讀生活中常見的直接對應(一維)表格。 D-1-02
說明: o 例:電視節目表、各班人數表、餐廳價格表等,並配合「數與量」單元進行教學。

3-d-02 能報讀生活中常見的交叉對應(二維)表格。 D-1-03
說明: o 例:用功課表等來教學,並配合「數與量」單元進行。
o 可利用火車時刻表等,來規劃旅行計畫。


(四)四年級

數與量

4-n-01 能透過位值概念,延伸整數的認識到大數(含「億」、「兆」之位名),並作位值單位的換算。 N-2-01
說明: o 參見1-n-01,2-n-01,3-n-01。
o 認識由「個、十、百、千」及「萬、億、兆」所組成的位名,及其形成的計數系統。
o 進行兩階或跨階單位的換算。例:知道「千」是「百」的十倍,「十」是「千」的百分之一。
o 例:學童知道503000000讀作五億零三百萬,以及能將三百二十萬三千寫作3203000。
o 例:也可練習8萬6千+9萬7千、3萬4千-9千、2億3000萬+4億5000萬的問題。
4-n-02 能熟練整數加、減、乘、除的直式計算。 N-2-02
說明: o 參見3-n-02、3-n-03、3-n-05。
o 熟練加、減、乘、除直式計算,是四年級的重要教學目標。原則上位數不應設限,但也不要過於繁瑣,重點在於不讓學童自我侷限於較小位數的計算,並且有處理大數計算的經驗。
o 在學習直式計算的進程中,不鼓勵學童用交換律,因為這個捷徑,對掌握直式計算的算則並無好處。但除此之外,在一般解題與計算中,當然鼓勵學童用自己比較能掌握的方法。

4-n-03 能在具體情境中,解決兩步驟問題,並學習併式的記法(包括連乘、連除、乘除混合)。 N-2-03
A-2-01
說明: o 併式在解題過程雖非必要,但是可作為日後代數學習的前置經驗,並且也可以讓學童理解四則混合計算的應用(參見4-n-04)。在本細目中,應引入括號的使用,並讓學童知道括號中的運算應先計算。
o 例:「一打鉛筆有12枝,文具店有3打黃色鉛筆,7打粉紅色鉛筆,拆開來放在筆筒裡,共有多少枝鉛筆?」,這個問題可併式記為12×(3+7)=120枝鉛筆。
o 例:「2日有多少分?」,2日有 24×2=48時,但因1時=60分,所以48時有60×48=2880分。可併式記為60×(24×2)=2880。
o 例:以正方體的小積木排一個長方體,直排一排有8個,橫排一排有6個,高一排有5個,共有多少小積木?(這是體積公式的前置經驗)
o 例:「一箱布丁裝6條,一條布丁有4個,媽媽買了5箱布丁,拆開來共有多少個布丁?」,每箱布丁有4×6=24個布丁,5箱布丁共有24×5=120個布丁。可併式記為(4×6)×5=120。
o 例:「36顆蘋果平分成3箱,其中2箱送禮,送出去多少顆蘋果?」,問題的解法可以列成每箱36÷3=12顆蘋果,2箱共有12×2=24顆蘋果。可併式記為(36÷3)×2=24。
o 例:「一箱蘋果有24顆,將2箱蘋果分給3個人,每人可分得多少顆蘋果?」,問題的解法可以列成2箱蘋果共有24×2=48顆蘋果,再平分給3人,每人得48÷3=16顆蘋果。可併式記為(24×2)÷3=16。
o 例:「48個布丁,每3個布丁裝1盒,每8盒裝一箱,請問可裝成幾箱?」,問題的解法可以列成48個布丁可裝成48÷3=16盒,16盒又可裝成16÷8=2箱。可併式記為(48÷3)÷8=2。
o 例:「72個蓮霧,平分給4個小隊,再平分給小隊的隊員,若每小隊有6名隊員,請問1個隊員可以分到幾個蓮霧?」,問題的解法可以列成每小隊可得到72÷4=18個蓮霧,再平分給6個隊員,每個隊員可得18÷6=3個蓮霧。可併式記為(72÷4)÷6=3。

4-n-04 能作整數四則混合計算(兩步驟)。 N-2-03
A-2-01
說明: o 初步學習整數四則混合計算時,併式的約定如下:
(1)有括號時,括號內的運算先進行。
(2)當式子中只有乘除或只有加減的運算時,由左向右逐步進行。
(3)先乘除後加減。
o 在整數四則混合運算時,除法應能整除。
o 關於混合計算可運用到的性質,請參見1-a-02,2-a-01,2-a-03, 4-a-01。
4-n-05 能用四捨五入的方法,對大數在指定位數取概數,並做加、減之估算。 N-2-05
說明: o 概數是大概準確的數字,至於此概數是否恰當,則依賴問題的情境。例如我們可以說台灣人口約兩千萬人,但是如果我們關心的是今年台灣人口增加多少時,那麼將去年與今年的人口都說成兩千萬人就是不恰當的。
o 在指定位數用四捨五入法求概數。
o 四年級階段只作整數的加減估算,與乘、除有關的估算可在五年級配合小數的教學時再進行(參見5-n-10)。

4-n-06 能在平分情境中,理解分數之「整數相除」的意涵。 N-2-06
說明: o 理解分數的「整數相除」意涵(例如 2÷3=23、23=2÷3),是分數教學的重要課題,日後一般學童也都只記得分數就是分子除以分母的概念。由於除法有兩種不同的應用情境,在四年級處理較簡單的平分情境(等分除),五年級再處理測量的情境(包含除)。在被除數附上單位的情境裡,比較能順利進行這個課題的教學。
o 先複習「單位分數」(參見2-n-10,3-n-09,這是在平分情境中進行的),例如:將1個披薩,平分給3個小朋友,每個小朋友分得13 個披薩,因此1個披薩÷3=13 個披薩,簡記成1÷3=13 。

o 討論「如何將2個披薩,平分給3個小朋友?」,歸結到先將每個披薩各平分成3片的方法,再從每個披薩中各取13 個披薩,但是13 個披薩有2片,所以應該是23個披薩,也就是每個小朋友各分得23個披薩,可以讓學童將23個披薩總加起來,確定會得2個披薩。

在這裡教師一定要迫使學童處理,這樣平分到底是13 還是23的認知衝突(即全體與「個披薩」單位的衝突)。學童必須清楚知道,「2個披薩的三分之一是23個披薩」。學童在這一點上能突破,才能較穩定理解分數記號的意義。
o 也可以再討論「如何將4個披薩,平分給3個小朋友?」(引導出帶分數的結果)、「如何將2個披薩,平分給4個小朋友?」(引導出等值分數)等問題。
o 在具體情境中,讓學童認識有餘數(不准分割之離散量個別單位,如5個糖果分給3個小朋友)與無餘數(准許分割之連續量個別單位,5個披薩平分給3個小朋友)兩者間的不同,進而清楚理解這兩種情境的差別。

4-n-07 能認識真分數、假分數與帶分數,熟練假分數與帶分數的互換,並進行同分母分數的比較、加、減與非帶分數的整數倍的計算。 N-2-07
說明: o 由本細目,開始發展分數的計算課題,建議分母小於20,且用較常出現的數,如2、3、4、5、8、10、12、15、16、20等。為與小數做連結,應做分母為100、1000等的分數。
o 由於分數本質上是一種乘除關係,一般其加減計算其實比乘除計算複雜,但是在同分母的情形,可以利用單位分數的點數,與整數的計算完全連結,這就是本細目所處理的所有情形。建議教師先在一固定情境中(如平分披薩),將課題說明清楚並做計算練習後,才開始做其他應用問題(如平分緞帶)。
o 本細目應處理:
(1)將整數點數與分數記號連結起來(例如9個14就是94 )。
(2)說明真分數、假分數、帶分數的意義。
(3) 說明假分數與帶分數的轉換,並理解這與分子除以分母的商與餘數的關係。
(4)說明整數的比較與計算如何與同分母的比較與計算連結。
o 由於同分母分數的比較與加減,與學童的整數經驗完全相同,所以較容易。因此,此細目可作假(真)分數的整數倍,但不作帶分數的整數倍。在說明分數的整數倍時,先確定學童已能接受4-n-06中「若每個小朋友有23個披薩,所以3個小朋友(3倍)共有23 個披薩×3=2個披薩」的說明。教師可以採用整數乘法的經驗,建立整數倍的計算,也可與「整數相除」的概念連結。簡單整數除數的情況也類似。
o 透過分解合成,理解加減互逆也可用於分數加減。
o 理解作帶分數減法時,可能要從整數借1的計算原理。並在以10為分母時,理解這與小數相減借位的原理相通。
o 本細目處理完後,學童應能理解或計算:
1630<1<4530,1630 是真分數,4530 是假分數。
1725+3425=5125=2 125,22042-12142=9942=2 1542。
23 ×3=2 ,98 ×3= 278 。
21÷33=2133 。(教師指定要寫成分數時)。

4-n-08 能理解等值分數,進行簡單異分母分數的比較,並用來做簡單分數與小數的互換。 N-2-08
N-2-13
說明: o 等值分數是一般分數加減的基礎,也可當做約分、擴分的前置經驗(參見5-n-04)。本細目著重等值分數的概念理解,其計算則應透過5-n-04來完成。
o 可先討論「如何將2個披薩,平分給4個小朋友?」,除了將每個披薩各平分成4片的方法之外,教師也要引導學童理解,這問題相當於「如何將1個披薩,平分給2個小朋友?」。

於是可以得到
24 個披薩 = 12 個披薩,簡記成 24 = 12。

o 另外學童應該從具體平分情境中,理解可用再細分的方式,得到14個披薩=1×24×2 =28個披薩。這是擴分的前置經驗,比約分容易操作。
o 在具體的平分情境中(參見4-n-06),知道3個披薩分給9人,相當於1個披薩分給3個人。因此 39=3÷9=1÷3=13。其中3÷9=1÷3的情況,可以當作因數與約分的前置經驗。等值分數的學習與因數、倍數的學習,不應隔得太遠(參見5-n-03)。
o 由於本細目僅強調「等值分數」概念的理解,因此在處理比較問題時,只處理分母為2、4、5、8、10、100或1000的分數,這些是比較常用的情形。
o 先複習22=33=44=…=1的事實,然後在具體情境中,說明分數等值的理由。可先由分母的倍數差2、4倍的分數先出發(因為切半的操作最簡單)。
例如讓學童理解34與68即為等值分數,並運用等值分數進行簡單異分母分數(限一分母為另一分母之倍數時)的比較,如:34=68 > 58。
o 在這裡也引入101000=1100,與小數相連結。

4-n-09 能認識二、三位小數與百分位、千分位的位名,並作比較。 N-2-10
說明: o 新增位值單位為「百分位」及「千分位」,位名的由來是由於1100=0.01及11000=0.001的關係。學童應理解十分位、百分位及千分位,如同整數時各個位值間的關係(參見4-n-01),如10個0.001是0.01、10個0.01是0.1等,並了解0.023=0.01×2+0.001×3=0.001×23。
o 要教導學童「小數點以下2位」或「2位小數」的講法(這相當於百分位),因為小數的位名,除了教學外,很少使用。
o 對於二、三位小數的讀法應注意,如0.235讀成「零點二三五」,而非「零點二百三十五」。
o 例:0.27 < 0.5,或 0.3 > 0.299(透過分數的轉換,也許比較容易理解)。
4-n-10 能用直式處理整數除以整數,商為三位小數的計算。 N-2-06
N-2-10
N-2-13
說明: o 在4-n-06中已經知道整數除以整數都可以表為分數,在4-n-08中知道許多分數可以表為小數,本細目則在學習如何將分數,直接透過整數除以整數的計算,表為小數。其商限定為最多三位小數。
o 應鼓勵學童熟悉分母為2、4、5、8、10、100之真分數所對應的小數值。
4-n-11 能用直式處理二、三位小數加、減與整數倍的計算,並解決生活中的問題。 N-2-10
說明: o 本細目的重點,在於讓學童理解這與整數之四則直式計算幾乎相同,其關鍵在小數點位置的處理。

4-n-12 能解決複名數的時間量計算,以及時刻與時間量的加減問題。 N-2-15
說明: o 本細目之加減計算含「日」、「時」、「分」、「秒」。
o 例:2時35分=60分×2+35分=155分。60時=2日12時。
o 例:「現在是早上10時50分,再過90分是幾點?」,由於90分是1時30分,所以再過90分是11時80分,即12時20分,知道是午後20分。
o 例:「現在是早上10時30分,再過多久是午餐時間?再過多久是放學時間?」,這個問題的答案以各校之課表時間為準,教師要協助學生處理經過正午的時間計算問題。
o 例:現在是下午5時,知道再過24時,是明天下午5時。再過36時是後天早上5時。
o 例:「小明上學出門時間是7時45分,如果他走路需要花20分,請問小明會不會遲到?」
o 例:「小英今晚看卡通的時間是30分,洗澡15分,吃飯50分,請問小英做這些事,總共花了幾時幾分?」
o 例:「電影片長2小時15分,如果已經播了57分鐘,還有多久才播完?」

4-n-13 能認識長度單位「公里」,及「公里」與其他長度單位的關係,並作相關計算。 N-2-15
說明: o 能認識「1公里=1000公尺」,所以「1公里=100000公分」等。並可與概數的教學單元互相加強(參見4-n-05)。
o 例:知道「操場跑5圈約為1公里」(假設操場一圈約為200公尺)。也能計算「操場跑7圈約為1公里400公尺」。
o 公里不容易直接估測,不需強調,但可討論其它的策略,譬如由經驗知道大概相當於學童走30分鐘,或大人走15分鐘的距離。
o 教師也可舉當地兩市鎮間的距離為例子。例如:甲鎮到乙鎮的省道長4公里300公尺,乙鎮到丙鎮之省道長3公里800公尺,則順著省道由甲鎮到丙鎮,長度為7公里1100公尺,等於8公里100公尺。

4-n-14 能認識角度單位「度」,並使用量角器實測角度或畫出指定的角。(同4-s-04) N-1-16#
S-2-05
說明: o 要注意學童以為度數隨角的邊長增加而增加的常犯錯誤(這是與面積混淆所產生的錯誤)。
o 學童在學習使用量角器時,經常有無法對準中心及角的一邊未對齊0度線的問題,教師應仔細檢查。
o 學童初步熟悉30度、45度、60度、90度、120度、135度、150度、180度的角度即可。在做角度估測時,不應要求太嚴格。


4-n-15 能認識面積單位「平方公尺」,及「平方公分」、「平方公尺」間的關係,並作相關計算。 N-2-15
說明: o 能認識「1平方公尺=10000平方公分」。
4-n-16 能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式。(同4-s-09) N-2-17
S-2-07
說明: o 這裡所有長方形與正方形的邊長皆為整數。
o 長方形面積公式=長×寬,周長=(長+寬)×2。
o 正方形面積公式=邊長×邊長,周長=邊長×4。
o 教師應與學童討論兩面積公式之間的關係。也應討論長方形面積相等,形狀卻不一定相同(因數的前置經驗);若長方形周長相等,形狀也不一定相同。
o 可讓學童計算由長方形與正方形組成的簡單複合圖形,只處理相接而不相重疊的圖形。如下圖:


4-n-17 能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同體積的大小,並認識體積單位「立方公分」。 N-1-15#
N-1-16#
說明: o 例:用數量一定、形狀及大小相同的積木,堆積成各種可能的長方體或正方體。認識1立方公分的積木,用小積木複製某一特定物件,並點數複製時所使用的積木數量。

幾何

4-s-01
能運用「角」與「邊」等構成要素,辨認簡單平面圖形。 S-2-01
說明: o 小學前三年與後三年的幾何教學定位不同(參見幾何主題說明)。本細目一方面是針對前階段的檢查性細目,但也是後階段幾何教學的開始。
o 在2-s-01中,先在實測中認識給定平面圖形的構成要素。本細目則在強調,由構成要素來刻畫一簡單幾何圖形。在順序上,前者是先給定圖形,再作實測並認識(例如:正方形在實測中,邊長可能略有誤差)。但本細目,則在強調用構成要素的性質來「刻畫」一理想的幾何圖形(例如:四邊相等且四角為直角的四邊形為正方形)。
o 例:有一個直角的三角形是直角三角形;有四個直角的四邊形是長方形。
4-s-02 能透過操作,認識基本三角形與四邊形的簡單性質。 S-2-03
說明: o 本細目開始探討基本三角形與四邊形的簡單性質。操作可使用直尺、三角板、量角器、圓規、模型(圖板的或骨架的)、摺紙、剪裁等。
o 基本三角形如:正三角形、等腰三角形等,其簡單性質如:正三角形三角相等;等腰三角形兩底角相等。
o 基本四邊形如:平行四邊形等,其簡單性質如:平行四邊形沿對角線分開之兩三角形全等。

4-s-03 能認識平面圖形全等的意義。 S-2-04
說明: o 此為「檢查細目」,應在相關幾何教學中進行,不需自成單元。
o 在先前之幾何操作如平移、旋轉、翻轉中,學童早已開始運用全等的直覺。本細目在將全等的概念定義得更清楚,印證學童的經驗。
o 簡單平面圖形的全等意指兩平面圖形在疊合時,其頂點、邊、角完全重合。
o 能以「對應頂點」、「對應角」與「對應邊」的關係來描述三角形全等的意義。
o 理解平面圖形的性質(參見4-s-02),在全等的操作下皆不變。
4-s-04 能認識「度」的角度單位,使用量角器實測角度或畫出指定的角。(同4-n-14) N-1-16#
S-2-05


4-s-05 能理解旋轉角的意義。 S-2-05
o 認識順時針、逆時針的意義。
o 認識旋轉角度是沿著順時針或逆時針方向轉動的角度。
4-s-06 能理解平面上直角、垂直與平行的意義。 S-2-02
說明: o 能利用三角板來輔助垂直的理解,並由窗格知道,垂直相交的兩線段所成的四角相等(對稱),都是直角。也可由窗格門柵知道平行線在直觀上等寬。並將平行總結為:「兩線(段)同時垂直於某線(段)」(注意本細目只討論平面上的情況)。
o 在圓平分的例子中,作兩次對半分割(即4等分),認識垂直就是4等分割時的自然結果,並與分數中的4等分相互加強。

4-s-07 能由直角、垂直與平行的概念,認識簡單平面圖形。 S-2-02
S-2-03
說明: o 本細目中的垂直與平行,指的是邊的垂直與平行。
o 例:透過直角、垂直與平行的概念,認識直角三角形、平行四邊形、梯形。
4-s-08 能利用三角板畫出直角與兩平行線段,並用來描繪平面圖形。 S-2-02
S-2-03
說明: o 例:學童會使用直尺或三角板畫出直角及兩平行線段,進而用來繪製直角三角形、正方形、長方形、平行四邊形與梯形。

4-s-09 能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式。(同4-n-16) N-2-17
S-2-07

代數

4-a-01 能在具體情境中,理解乘法結合律、先乘再除與先除再乘的結果相同,也理解連除兩數相當於除以此兩數之積。 A-2-01
說明: o 本細目為「檢查細目」,應併入整數教學單元中進行(參見4-n-04),不應另立單元教學。「乘法結合律」一詞建議不出現在四年級(包括四年級)以前的教學與課本。注意到這裡的除法都必須整除。
o 乘法結合律,例:學童可以在具體情境中理解當計算「學期末,每班發給3個小朋友學業優良獎,一個年級有10班,全校有6個年級,共有多少個小朋友可以得到學業優良獎?」之問題時,先計算3×10得出每個年級得獎人數後,再乘以6個年級,可以得到全校的受獎人數,與先計算10×6得出全校的班級數後,再計算3乘以全校的班級數,得出全校的受獎人數之結果都一樣,進而理解(3×10)×6=3×(10×6)的意義。
o 乘法結合律,例:以正方體的小積木排一個長方體,直排一排有8個,橫排一排有6個,高一排有5個,讓學童知道有許多不同的方式可以計算總積木數。這裡會用到乘法的結合律與交換律。
o 單位換算也是自然的連乘與乘法結合律情境。例:知道2天有 60×24×2分鐘,且能說明結合律在此例中的意思。
o 例:「一盒糖有15顆,7盒糖平分給5人,一人分到多少顆糖?」,這個問題可以先算有多少顆糖(15×7=105),再算一人分到多少顆(105÷5=21);也可以先將一盒糖分給5人(每人15÷5=3顆),再看7盒糖一人分到多少顆(3×7=21)。併式紀錄呈現:15×7÷5=15÷5×7,可討論後者的計算較容易。
o 先乘再除相當於先除再乘,也可以運用2-n-06中之乘法「排列」模型來理解(圖例:6×3÷2=6÷2×3)。

o 續4-n-03例:「48個布丁,每3個布丁裝1盒,每8盒裝一箱,請問可裝成幾箱?」。學童應理解,這相當於先計算每箱可裝3×8=24個布丁,所以48÷3÷8=48÷(3×8)=48÷24=2。
o 例:「72個蓮霧,平分給4個小隊,再平分給小隊的隊員,若每小隊有6名隊員,請問1個隊員可以分到幾個蓮霧?」。學童應理解,這相當於先計算總共有6×4=24個隊員,所以72÷4÷6=72÷(4×6)=72÷24=3。
o 例:25×11×4=25×4×11=100×11=1100。
o 例:60×32÷12=60÷12×32=5×32=160。
4-a-02 能將具體情境中所列出的單步驟算式填充題類化至使用未知數符號的算式,並能解釋式子與原問題情境的關係。 A-2-03
說明: o能將具體情境中簡單問題,從含有( )的算式填充題,類化至使用含有△、□、甲、乙、?、…等的算式,並能解釋算式與原問題情境的關係(符號代表未知量)。
o例:「小明原有8張怪獸卡,又獲得幾張怪獸卡之後,總共會有13張怪獸卡?」,學生能將題目列成8+□=13,且能說明式子和題目之間的關係。
o例:一包口香糖有8片,需要購買幾包才會有32片的乘法問題,學生能將題目列成8×□=32,且能說明式子和題目之間的關係。

4-a-03 能理解乘除互逆,並運用於驗算與解題。 A-2-02
說明: o 本細目為「檢查細目」,應併入整數教學單元中進行(參見4-n-03,4-n-04),不應另立單元教學。「乘除互逆」一詞建議不出現在教學與課本中。
o 與3-a-02的主要差別是,這裡不再涉入具體情境,應該用比較形式的方式應用乘除互逆,來作乘除算式的驗算與解題。
o 例如:一包口香糖有7片,需要購買幾包才會有28片的乘法問題,學生可依題意列出7×( )=28,並透過28÷7的算式解決問題。
o 也可引入下列題型,作為學童練習「乘除互逆」的題型。學童不了解如何解題時,教師可以提供具體的解題情境,讓學童運用在具體情境中的解題方式。例:12×( )=84,( )×25=175,169÷( )=13,( )÷16=15。

4-a-04 能用中文簡記式表示長方形和正方形的面積公式與周長公式。 A-2-04
說明: o 長方形面積=長×寬。
o 長方形周長=(長+寬)× 2,或是長方形周長=長 ×2+ 寬 ×2。
o 正方形面積=邊長×邊長。
o 正方形周長=邊長 × 4。

統計與機率

4-d-01 能報讀生活中資料的統計圖,如長條圖、折線圖與圓形圖等。 D-2-01
說明: o 利用生活上的統計圖,作為例子,例如:某班的成績分佈情形,可分別以長條圖、折線圖或圓形圖來呈現。
o 「報讀」是指將統計圖上所看到的資料讀出來。
o 資料的解讀應於「社會」、「自然與生活科技」等領域的教學中進行為宜。

圖1、成績分佈長條圖

圖2、成績分佈折線圖

圖3、成績分佈圓形圖

o 此階段長條圖、折線圖不涉及座標的教學,只需對橫軸、縱軸的資料有所了解。教師可以使用生活中簡單的長條圖、折線圖,來使學童認識統計圖上橫軸、縱軸的資料,並報讀資料。
o 圓形圖部份,不涉及圓面積、圓心角及扇形面積的教學,僅報讀資料,並觀察各區域大小與資料間的對照關係。

4-d-02 能報讀較複雜的長條圖。 D-2-02
說明: o 此處的較複雜的長條圖是指各種變形或資料較煩瑣的長條圖。
o 利用已學過的長條圖知識,讓學童舉一反三地報讀變形長條圖,並不需要教遍各種變形長條圖。
o 示例中的各種變形長條圖不一定都要呈現,可以當作學習活動來進行相關討論。
o 例:各種變形長條圖的樣式:
圖4

圖5

圖6

o 圖4、圖5又稱直條圖,圖6又稱橫條圖。教學上宜以直立的長條圖為宜。
o 統計圖表的功能在於由圖表可以輕鬆掌握整筆資料,如果只看原始資料不容易有整體印象。
o 現成長條圖包括在報紙或雜誌中所見之長條圖,本細目著重在學童直接報讀長條圖,而非將資料轉換成長條圖,可讓學童省去繪製大量資料圖表的時間。
o 例:92年五月全國各縣市人口數(人口統計電子報第《598》號)。

圖7


(五)五年級

數與量

5-n-01 能在具體情境中,解決三步驟問題。 N-2-03
A-2-01
說明: o 本細目為檢查細目,可與5-n-02結合,不必另立單元教學。
5-n-02 能熟練整數四則混合計算。 N-2-03
A-2-01
說明: o 這是小學對於整數四則混合計算的總結細目,學童應能熟練整數四則運算的性質,來簡化計算。此時數量範圍要配合年級逐漸加大。

5-n-03 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。 N-2-04
說明: o 以1-n-07(幾個一數),2-n-08(九九乘法),3-n-04(除法)為前置經驗,理解因數、倍數的概念。
o 用列表的方式,尋找兩數的公因數與公倍數。學童應知道兩整數的乘積一定是此兩數的公倍數。

5-n-04 能用約分、擴分處理等值分數的換算。 N-2-08
說明: o 在4-n-08的前置經驗中,僅強調等值分數概念的認識。在本細目教學時,可由具體情境,解釋約分與擴分的意義,然後即應運用因數與倍數來理解約分與擴分,並做等值分數的換算。

5-n-05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。 N-2-09
o 本細目在小學應以簡單異分母為教學重點,所謂「簡單」係指兩分母滿足以下情況之一(1)分母均為一位數;(2)一分母為另一分母的倍數;(3)乘以2、3、4、5就可以找到兩分母之公倍數(例如兩分母為12與18)。
o 通分是利用約分或擴分,將兩異分母的分數,變成兩同分母之等值分數後,再來做兩同分母分數的比較與加減。
o 由於本細目只作通分概念的認識,並不要求化成最簡分數(參見6-n-02)。所以此時學童在做通分時,可能只是做最簡單的分母相乘,但教師應鼓勵學童盡量將答案約分為較簡單的分數。
o 注意學童經常發生的錯誤類型:分母與分子各自相加減。
o 例:當比較 , 的大小時,由通分分別為 及 。因此,發現不需算出 就可得出 。

5-n-06 能在測量情境中,理解分數之「整數相除」的意涵。 N-2-06
說明: o 先回顧用測量來理解除法的操作方式(3-n-04中平分線段的例題)。
o 例:給定一條長繩長度為35公分,以一段長度為4公分的木條去測量並標記(想成要將長繩剪成4公分長的短繩)。由整數計算知35除以4得到8(段),但還剩下3公分。3公分的長度,相當於4公分的34,因此可將剩下的3公分的繩子,記成34段。於是可以將整個測量結果,記成
35÷4=8+34(段)或8 34(段)。
用假分數與帶分數的互換,檢查這個等式的意義(注意到在測量情境中,真分數、假分數與帶分數結合的方式)。

5-n-07 能理解乘數為分數的意義及計算方法,並解決生活中的問題。 N-2-11
說明: o 分數計算的課題,不管是從形式練習面著手,還是從情境說明著手,學童都需要經常練習,兩者俱進,才會熟練。本細目在教學上應先處理帶分數乘以整數的問題,再處理整數乘以分數的情況,最後處理被乘數為一般分數的情形。理解「分數乘以分數」的方式很多,底下只是一些方法的範例,並不表示教師必須全部教完。
o 在乘數為分數的教學中,最要注意的錯誤類型,是學童認為「乘積一定比被乘數大」,對於這個基於整數計算經驗的錯誤類推,教師需細心處理。最好在最容易理解的「乘數為單位分數」的情況下,就要開始處理。
o 乘數為分數的教學宜先從單位分數開始。3-n-09中談一數的「幾分之一」是本細目的前置經驗,但不完全相同。「分數倍」的理解比較抽象,可讓學童從已經熟練的直覺與運算上,認識其合理性。
o 例:1個披薩300元,2個披薩600元等,將幾個轉成幾倍來列式,再問「如果兩個人平分1個披薩(即各吃12個披薩),應該各付多少錢?如果三個人各吃13個披薩呢?如果五個人各吃15個披薩呢?」讓學童理解×12、×13、×15,其實就是二等分(除以2、「的二分之一」、「的一半」)、三等分(除以3、「的三分之一」)、五等分(除以5,「的五分之一」)。在此例要小心「元」這個單位不能再分,因此被乘數必須能被整除。
o 與上例類似的連續量例子:從測量情境的分數「整數相除」意涵入手,假設作為測量單位的木條長5公分,那麼測量結果,1段就是5公分,2段就是10公分,因此「段」也可以作為倍數來理解,這時問12段應該是多長,顯然就應該是5÷2=52 公分。如此也可以得到一樣的結果。
o 例:由長方形的面積公式入手(只處理乘數是單位分數,參見4-n-15)。由於邊長是連續量,很適合用在分數與小數的教學,但要注意4-n-15的面積公式邊長都是整數。先固定面積公式中的「長」,例如10公分,看出當「寬」為1與13的差別是,後者的總面積是前者總面積(10×1=10)的三等分,因此應該是10×13=103,以此類推。
o 以上處理單位分數倍的方式,可以建立×12就是÷2,×13就是÷3的概念。 接 著,討論乘數分子不為1的情況如32 倍的情況,先在上述類似具體情境中(面積中可能要用到等積異形),理解這其實就是÷2 ×3或×3 ÷2;或者用測量模型,則×32相當於×1 12(亦即1段加半段)。並可由此得到一般分數倍的計算方式: 5× 32=5×3÷2=5×32=152 。 (★)
接著,再說明
54× 32=54×3÷2=5×34÷2=5×34×2=158 。 (★)
o 如果要一次完成分數乘以分數,也可以深入探討長方形面積公式。例如要處理長為 32公分,寬為54公分的長方形,則可將長方形分割成15個長為12公分,寬為14公分的小長方形,再將小長方形與邊長1公分的正方形比較,知道其面積是18平方公分,因此總面積為18×15=158平方公分。

5-n-08 能認識多位小數,並作比較與加、減的計算,以及解決生活中的問題。 N-2-10
說明: o 所謂多位小數,只是讓學童知道小數的位數,原則上跟大數一樣,可以一再細分下去。實際教學時,不特別自限於固定的位值限制即可。
o 要教導學童「小數點以下(後)第4位」的講法。
o 在進行多位小數教學時,要同時將已知關於小數的直式計算加以延伸,讓學童理解多位小數的計算,與小位數小數的計算方式相同。
o 教師也不妨引用自然科學的實際例子,讓學童知道在微小的世界中,小數派得上用場,例如細菌大概是0.0003公分長,更小的病毒,大概0.00001公分長。如果細菌像10元硬幣那麼大,那麼小朋友就跟聖母峰一樣高。

5-n-09 能用直式處理乘數是小數的計算,並解決生活中的問題。 N-2-12
說明: o 教學以二位小數的互乘為原則。
o 先處理整數的小數倍的計算方式。乘數可先從0.1與0.01著手,其效果相當於移動小數點的位置。再考慮例如乘數為0.2(=210),或乘數為1.2(=1210)。

5-n-10 能用四捨五入的方法,對小數在指定位數取概數,並做加、減、乘、除之估算。 N-2-05
說明: o 在應用上計算百分率,經常要用到四捨五入(參見5-n-12)。例如全班有32人,女生有18人,則女生佔全班的1832,,轉換成小數為0.5625,換成整數值的百分率,則約為56%,若允許到小數一位,則為56.3%。

5-n-11 能將分數、小數標記在數線上。 N-2-06
N-2-13
o 本細目可在沒有刻度的輔助下標示整數、分數、小數。
o 小數的標示以一位為原則。
o 分數的標示應以如2、3、4、10等簡易分母為教學重點。
5-n-12 能認識比率及其應用(含「百分率」、「折」)。 N-2-14
說明: o 「比率」是分數課題之一。大多數情境強調的是部分佔全體的多寡與其表示法,因此比率的值往往小於或等於1,且1就是「全部」。(比率有時被延伸使用到>1,不屬於本細目)。
o 日常生活中的加成,如服務費加兩成;犯罪成長率120%也是比率的例子。
o 在五年級處理的部分量與全部量為整數或可恰當轉化為整數的量。例如:「100個人中有75人及格」,所以及格人數的比率是75100=0.75。而不及格人數的比率是1-0.75=0.25。
o 也要能處理全部量與比率已知,推得部分量的情況,例如:「全校500名學童,其中的53100是女生,請問女生有多少人?」,答案是500×53100=265。
o 部分量與所佔比率已知,推得全部量的問題則到六年級再處理(參見6-n-03,6-n-04)。
o 百分率是最常用的比率表示法,學童應理解其意義、記法與應用,知道100%就是1,也就是全部。例:知道75100=0.75,可記成75%。知道這次考試有75%的同學及格,則不及格的同學佔全班25%,知道這相當於計算1-75%=100%─75%=25%。
o 例:「500人的75%是多少人?」,「若全校有500人,女生有275人,則男生佔全校人數的百分之多少?」。
o 熟練常用的百分率與分數轉換,如:100%=1(全部),50%=12(一半),25%=14,75%=34,20%=15,40%=25,60%=35,80%=45,10%=110。
o 「折」的日常用法要熟悉並能計算。知道「書店全面七五折」的意思相當於以定價的75%計價,若買600元的書,只要付600×34=450元。學童應理解這樣省了1-75%=25%。另外要注意「七五折」不是「七十五折」。
o 要處理全體中有多少子類的情況,可與統計機率的細目一起處理(參見5-d-01)。

5-n-13 能解決時間的乘除計算問題。 N-2-15
說明: o 本細目的單位換算與計算限於整數範圍。
o 例:如果知道練習彈奏一首鋼琴曲要5分30秒,連續彈奏三次需要多少時間?
o 例:連續播放一首歌曲五遍共需31分15秒,只播放一遍需要多少時間?

5-n-14 能認識重量單位「公噸」及「公噸」、「公斤」間的關係,並作相關計算。 N-2-15
N-2-16
說明: o 1公噸=1000公斤。
o 本細目的單位換算與計算可引入分數或小數。
5-n-15 能認識面積單位「公畝」、「公頃」、「平方公里」及其關係,並作相關計算。 N-2-15
N-2-16
說明: o 1公畝=100平方公尺。1公頃=100公畝。1平方公里=1000000平方公尺。
o 本細目的計算可引入分數或小數。
o 例:1平方公里=10000公畝=100公頃。
o 例:「若某正方形區域之公園,面積為1公頃,請問其邊長為多少公尺?」
5-n-16 能運用切割重組,理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。(同5-s-05) N-2-19
S-2-08
說明: o 從長方形面積出發,以3-s-06為前置經驗,運用切割重組與簡單幾何圖形的性質,來推導這些圖形的面積公式。
o 三角形面積公式=(底×高)÷2。
o 平行四邊形面積公式=底×高。
o 梯形面積公式=(上底+下底)×高÷2。
5-n-17 能認識體積單位「立方公尺」,及「立方公分」、「立方公尺」間的關係,並作相關計算。 N-2-15
N-2-16
說明: o 1立方公尺=1000000立方公分。
5-n-18 能理解長方體和正方體的體積公式。(同5-s-07) N-2-17
S-2-07
說明: o 長方體體積公式=長×寬×高。
o 正方體體積公式=邊長×邊長×邊長。
o 教師與學童可討論兩體積公式間關係。
o 可讓學童計算由長方體與正方體組成的簡單複合圖形,只處理相接而不相內嵌的圖形。如下圖


5-n-19 能理解容量、容積和體積間的關係。 N-2-18
說明: o 容量、容積與體積均為空間大小的量。一般說來,體積代表實體佔有的空間,容量、容積代表的是實體內可負載的量,其區別如下:
體積:物體所佔空間的大小。
容積:某一具有確定三度空間的周界內的空間大小,通常此空間有容納物質可以隨時存取的功能。換言之,容積是指容器內部空間的大小,其概念是體積概念。例如:冰箱內部的容積。
液量:指容器內液體的量。如:水量。
容量:指容器可裝載的最大液量。
o「容積」概念的引入:可從容器內部空間的形狀和大小開始討論,引導用多少個1立方公分積木才能填滿,才由教師宣告盒子內部空間的體積就是這個盒子的容積。
o「容積」、「容量」的關係:聯絡發生的舊經驗:盒子的容積是多少?同一個盒子的容量是多少?再由教師配合活動操作的結果宣告1公升的水所佔的空間是1000立方公分;讓兒童了解水所佔空間的體積是多少,進一步才討論容器內部空間不是長方體時,可由容量推算容積。
o 當兒童認識水也有體積之後,便可以討論「沉入水中的物體的體積,等於此物體所排開的水的水量,也就是水所佔空間的體積」。

幾何

5-s-01 能透過操作,理解三角形三內角和為180度。 S-2-03
說明: o 以測量、剪裁等方式進行。
5-s-02 能透過操作,理解三角形任意兩邊和大於第三邊。 S-2-03
o (討論活動題,不宜評量)如果學童理解兩點間的線段長度是最短距離,也可以用推理知道為什麼這個性質是正確的。

5-s-03 能認識圓心角,理解180度、360度的意義,並認識扇形。 S-2-03
S-2-05


5-s-04 能認識線對稱,並理解簡單平面圖形的線對稱性質。 S-2-06
說明: o 能在具體示例中判斷一圖形是否滿足線對稱,找出該圖形的對稱軸(可能不只一條)。理解哪些常見平面圖形具有線對稱的性質。
o 知道線對稱圖形的對應邊相等、對應角相等,並知道對稱軸兩側圖形全等(不需要證明)。
o 知道如何描繪一簡單平面圖形的線對稱圖形。
5-s-05 能運用切割重組,理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。(同5-n-16) N-2-19
S-2-08

5-s-06 能運用「頂點」、「邊」與「面」等構成要素,辨認簡單立體形體。 S-2-01
說明: o 參見4-s-01。
o 例:正方體的各面都是邊長相等的正方形,且相對的兩面互相平行,相鄰的兩面互相垂直。正方體總共有8個頂點、12個邊、6個面。
o 例:正四面體4面都是邊長相等的正三角形,共有4個頂點、6個邊。
5-s-07 能理解長方體和正方體的體積公式。(同5-n-18) N-2-17
S-2-07


5-s-08 能認識面的平行與垂直,並描述正方體與長方體中面與面的平行與垂直關係。 S-2-02
說明: o 只要具體觀察即可,不必說明面垂直與面平行的定義。

代數

5-a-01 能在具體情境中,理解乘法對加法的分配律,並運用於簡化心算。 A-2-01
說明: o 本細目為「檢查細目」,應併入整數教學單元中進行(參見5-n-01,5-n-02),不應另立單元教學。「分配律」一詞建議不出現在教學與課本中。
o 解釋乘法直式計算時,會用到分配律,學童可以從錢幣的情境來理解,也可以透過乘法的「排列模型」來理解。如下圖:4×12=4×10+4×2。

o 也可透過下面的例子來理解,例:「一打鉛筆有12枝,文具店有3打黃色鉛筆,7打粉紅色鉛筆,拆開來放在筆筒裡,共有多少枝鉛筆?」,這個問題可以分開成黃色鉛筆12×3=36枝,粉紅色鉛筆12×7=84枝,總共有36+84=120枝來計算,也可以先算有3+7=10打鉛筆,再算共有12×10=120枝鉛筆。所以12×(3+7) =12×10=12×3+12×7=36+84=120。(★)
o 例:「一束花中有10朵玫瑰、12朵康乃馨,7束花總共有多少朵花?」,這
個問題可以分開成7束花有10×7=70朵玫瑰,12×7=84朵康乃馨,合起來共有154朵花;也可以先算每束有10+12=22朵花,再算總共有22×7=154朵花。所以 (10+12) ×7=22×7=10×7+12×7=70+84=154。(★)
o 解釋帶分數乘以整數的計算時,會用到分配律,如:
3 12×3=3×3+12×3=9+32=10 12 。(★)

5-a-02 能熟練運用四則運算的性質,做整數四則混合計算。 N-2-03
A-2-01
說明: o 四則運算的性質指加法、乘法的交換律、結合律、乘法對加法的分配律。
o 併式時的約定參見4-n-04。
5-a-03 能解決使用未知數符號所列出的單步驟算式題,並嘗試解題及驗算其解。 A-2-03
說明: 能解決使用△、□、甲、乙、?、…等符號所列出的單步驟加減法算式題,並嘗試發展策略解題及驗算其解(符號代表未知量)。
例如:「小明原有8張怪獸卡,又獲得幾張怪獸卡之後,總共有13張怪獸卡?」,學生將題目列成8+□=13後,透過加減互逆運算,得知□的答案等於13-8。
能解決使用△、□、甲、乙、?、…等符號所列出的單步驟乘除法算式題,並嘗試發展策略解題及驗算其解(符號代表未知量)。
o 例如:一包口香糖有7片,需要購買幾包才會有28片的的乘法問題,學生將題目列成7×□=28後,透過乘除互逆,得知□的答案等於28÷7。

5-a-04 能用中文簡記式表示簡單平面圖形的面積,並說明圖形中邊長或高變化時對面積的影響。 N-2-19
S-2-08
A-2-4
說明: o 本細目為檢查細目,不需另立單元教學。
o 例:梯形面積=(上底+下底)×高÷2,再以紀錄觀察高改變時,面積變化的情形,這是變數的前置經驗。

5-a-04 能用中文簡記式表示長方體和正方體的體積公式。 A-2-04
說明: o 長方體體積=長×寬×高。
o 正方形體體積=邊長×邊長×邊長。


統計與機率

5-d-01 能整理生活中的資料,並製成長條圖。 D-2-03
說明: o 學童可將現成資料,藉由次數、數量或人數做成長條圖。
o 例:各國每人每日垃圾量(中國時報88.6)。
因為想要了解每個人每天會製造多少垃圾,而收集了下面的資料:台灣每個人每天的垃圾量為1.14公斤、日本1.09公斤、新加坡1.10公斤、德國1.09公斤、美國2.00公斤、南韓1.07公斤、英國1.34公斤、法國1.53公斤、荷蘭1.58公斤。並將資料以長條圖表現。
問:從下圖中可以看出什麼?你有什麼想法?

圖1

o 例:台灣地區主要宗教的信徒人數統計(內政部,民88)。
小馨想要了解台灣哪些宗教有較多的信徒,於是從網路上收集有關的資料,將收集到的資料分類整理後如下表,並從資料中挑出擁有最多信徒的6種宗教,將之以長條圖表現。

宗教別 道教 佛教 回教 天理教 一貫道 基督教
信徒人數(千人) 4505 4863 52 22 942 421

圖2

o 若以百分率表示資料的量,也可以看出資料顯現的資訊。如引用【台灣學童近視罹患率(康健雜誌,88.2)】,來製作如下的長條圖,如圖3。

圖3


5-d-02 能報讀生活中有序資料的統計圖。 D-2-04
說明: o 有序資料係指因為數量、時間、位置等的有序變化而產生對應資料。
圖4

o 圖4是以睡眠時間的長短為序來製作橫軸,而4-d-02圖7是顯示【92年五月全國各縣市人口數】,其橫軸即具有各縣市地理位置的規則性。

5-d-03 能整理有序資料,並繪製成折線圖。 D-2-04
說明: o 本階段,不宜引進變數或函數的概念,僅須以時間、數量的變化來說明有序資料。
o 可使用在一種有序變化下,如時間改變、數量變化等,同時對應幾個變化的資料製作折線圖,來了解對應變化間的關係。
o 教學上,資料不宜過於複雜,且折線以不多於兩條為宜。


(六)六年級

數與量

6-n-01 能認識質數、合數,並作質因數的分解(質數<20,質因數<10,被分解數<100)。 N-3-01
說明: o 在5-n-03,製作整數的因數表時,可以發現有一些整數不能再被分解,這些數稱為質數,他們的因數只有1與自己而已。大於1且不是質數的整數(或有3個以上因數的整數)稱為合數。
o 在對一數做因數分解的練習裡,發現遇到質數就必須停下來。同時在紀錄分解的樣式及整理中(此時的質因數乘積不寫成指數形式),發現不管怎麼分解,形式都一樣。
o 例:60=6×10=(2×3)×(2×5)=2×2×3×5,或60=15×4=(3×5)×(2 ×2)=2×2×3×5=22×3×5等。 (★)
o 牽涉因數分解的細目(參見6-n-02),都應遵循如下原則:質因數<10,被分解數<100。
o 讓學童熟悉20以內的質數之倍數(小於200)。並可從活動中,讓學童掌握2、3、5的倍數規則。

6-n-02 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義,理解最大公因數、最小公倍數的計算方式,並能將分數約成最簡分數。 N-3-02
說明: o 最大公因數、最小公倍數的初步教學,以列舉觀察為主,待學童熟悉其意義後,再介紹短除法,計算兩數的最大公因數與最小公倍數,數目大小原則參見6-n-01。
o 兩數的最大公因數是1稱為互質。注意區辨互質與質數的不同。例如14與15雖然都是合數,但兩者互質。

6-n-03 能理解除數為分數的意義及其計算方法,並解決生活中的問題。 N-3-03
說明: o 分數計算的課題,不管是從形式練習面著手,還是從情境說明著手,學童都需要經常練習,兩者俱進,才會熟練。本細目在教學上可先處理分數除以整數的問題,再處理整數除以分數的情況,最後處理被除數為一般分數的情形。
o 在除數為分數的教學中,最要注意的錯誤類型,是學童會認為商一定比被除數小,對於這個基於整數計算經驗的錯誤類推,教師需細心處理。最好在最容易理解的「除數為單位分數」的情況下,就要開始處理。
o 先從「分裝」(包含除)的觀點,來處理除以分數的課題。先從單位分數的情況開始。例如:「披薩4個,如果每位小朋友可分得13個,共可分給多少人?」,先理解1個披薩,每位小朋友可分得13個,則1個披薩可分給3個小朋友,因此÷13,相當於3倍,亦即×3,因此可分給12位小朋友。(教師也可以在長度測量的情境中處理這個問題。)
o 例:「披薩4個,如果每位小朋友可分得23個,共可分給多少人?」,由於除數變為原來13的兩倍,從包含除的經驗知道,÷23的結果相當於÷13的結果還要再÷2,所以÷23的結果,相當於×3 ÷2。結合5-n-07,知道這相當於×32。最後將算式記為4÷23=4×32=6。
o 以上是答案為整數的簡單情形,答案非整數的情形宜以測量問題繼續討論例:「一繩長3公尺, 25 公尺剪成一段,可剪多少段?」,結果依照上面的計算的答案為152 (段),也就是7段再加上12 段。由於3-25 ×7=15 ,的確等於25 ×12 。因此這與以前處理的結果相同。
o 如果要將分數除以分數處理到最細緻(教師不見得要說明到這種地步),則需用到通分來說明。例:一繩長1 12 公尺,以一根長25 公尺的木條去度量。將1 12 化成1510 ,25 化成410 ,以110 公尺為共同單位,問題變成15÷4的問題,答案是3段加34 段,其中這34 段是因為剩下的310 公尺相當於25 公尺(也就是410 公尺)的34 。
o 由此得到一般的分數計算方式:例如: 274÷95=274×59=27×54×9=154。(★)
o 學童一定要理解如何處理商中之真分數部分、餘數與單位量之間的關係。
o 另外的除法重要課題是下列問題:「半包麵粉50元,1包麵粉多少元?」、「若用一木棒測量一長100公分之物,結果為212 段,請問木棒之長度?」、「若班上戴眼鏡的小朋友有9人,佔全班的30%,請問班上有少人?」,這些雖然是「平分」情境中的問題,卻不宜用平分的方式來思考,應改用比例方法解釋。
o 能在分數的脈絡中,理解乘除互逆,例如:知道 32×35=910,可用910×53=32來檢驗(也就是知道÷35,相當於×53)。

6-n-04 能用直式處理除數為小數的計算,並解決生活中的問題。 N-3-04
說明: o 被除數小數點位數不超過3位。
o 若直接從小數著手,先理解÷0.1,相當於×10;÷0.01,相當於×100。由此知道例如6÷0.12相當於6÷(0.01×12)=6÷0.01÷12=600÷12=50,並由此說明整數除以小數之直式計算,再解釋被除數為一般小數的情形。
o 也可直接由6-n-03著手,例如:3.24÷1.2=324100÷1210=324÷12×10,並解釋如何將此併入直式計算。
o 以上所談為一般的直式計算,但如果依照題目的情境,需要處理餘數的問題時(例如:測量情境中,商為整數的情形),可以討論如何處理這種情況。
o 除非要求對商取概數,否則教師布題時,應注意商需為有限小數。
6-n-05 能作分數的兩步驟四則混合計算。 N-3-11
A-3-01
說明: o 本細目為小學教學關於數與量計算之總結細目。由於學童對分數尚未熟悉,在六年級,只要求學童理解與練習即可。

6-n-06 能理解等量公理。(同6-a-01) A-3-02
說明: o 能理解「等式左右同加、減、乘、除一數時,等式仍然成立」的概念。
6-n-07 能認識比和比值,並解決生活中的問題。 N-3-05
說明: o 從日常問題中,可發現許多問題的解決,需要用到比的關係。在本細目中,正式介紹比的記法與比的相等關係,最終則要理解比的關係與「除」的關係二者相同。
o 比的相等關係,為兩數並置時的比與另兩數並置時的比相等。例如,透過單位價格如1斤麵粉16元,知道2斤麵粉32元,3斤麵粉48元…,由此知道這些數對共享一個關係,可運用列表的方式:
麵粉重量(斤) 1 2 3 4 5
價錢(元) 16 32 48

我們將它記為1:16=2:32=3:48=…,或16:1=32:2=48:3=….,學童要能發展策略判斷4:64=5:80是正確的。引導學童理解前項除以後項的不變性,並說明這些數對具有共同的商,就是比值,因此「一斤麵粉16元」與「1元可買116斤麵粉」是一樣的。
o 在離散量情境時,有時會出現比值為「1元可買112枝筆」的情況。雖然這沒有日常生活的具體意義,但卻具有解題上的意義。

6-n-08 能理解速度的概念與應用,認識速度的普遍單位及換算,並處理相關的計算問題。 N-3-06

說明: o 這是比或比值的應用課題。小學的速度教學一律在等速的情境中教學。
o 教學上,可先固定一個因次,去理解速度大小的意義,例:100公尺賽跑,小英跑20秒,小麗跑25秒,那麼小英跑得比小麗快。
o 例:若小英5秒跑25公尺,10秒跑50公尺,15秒跑75公尺,20秒跑100公尺(可運用列表的方式,參見6-a-06),發現這些數對形成比的關係。可運用5-n-15,知道可用「每秒跑5公尺」或「跑1公尺需要0.2秒」來刻畫這個關係。續引前例,以相同的推理知道小麗跑步的速度是每秒4 公尺,而小英跑得比小麗快的事實,可以用5>4來說明。
o 由此引入速度的公式:速度=距離時間 或 距離=速度×時間。並能應用此公式解題。引導學生觀察、發現「當速度一定時,距離與時間成正比」。
o 例:「小明從家裡走到學校,花了15分鐘,如果小明自己估計,他每秒可走1.5公尺,則家裡到學校的距離大概有多遠?」,在這樣的例子中,讓學童理解速度單位換算規則的必要。另外,雖然速度可能不均勻,但是這樣的估計,對日常應用還是有意義的。
o 常用的速度為每小時幾公里、每分鐘幾公尺與每秒鐘幾公尺。學童應能處理如下問題:「如果小麗每秒可走1公尺,則小麗每時可走多少公里?」,小麗每時可走1×60×60=3600公尺,也就是3.6公里。
o 本細目的時間單位換算與計算可引入分數,應讓學生熟悉時間單位的分數換算,如:20分鐘= 小時。

6-n-09 能理解正比的現象,並發展正比的概念,解決生活中的問題。 N-3-05
說明: o 正比關係與6-n-08密切相關,如速度固定時,距離與時間成正比;正方形的周長與邊長成正比。但比的相等關係強調將相比的兩類量寫在一起,直覺上較簡單。而正比則是兩類量關係中的一種,應採用列表的方式紀錄,並強調要使用比值來紀錄正比關係,兩者間的關係,可運用列表的方式來統整(參見6-a-04)。
o 與6-n-07的例子比較,正比強調麵粉每斤固定為16元,斤數與總價成正比,且可記錄為「總價=16 ×斤數」,於是可得到1斤麵粉16元,知道2斤麵粉32元,3斤麵粉48元…。
o 知道用不同長度單位去測量長度時,兩種記法的量呈現正比關係,且其比值就是單位換算的值。可以問學童,如果是面積的情況呢?
o 也要讓學童知道兩量在變化時,一量增加,另一量也跟著增加的現象,並不見得是正比關係,並能判斷。例如:爸爸的年齡與女兒的年齡,雖然都會增加,但非正比。又例如:正方形的面積與邊長的關係並不是正比關係。

6-n-10 能利用常用的數量關係,列出恰當的算式,進行解題,並檢驗解的合理性。(同6-a-03) N-3-14
A-3-03
A-3-04
A-3-05
A-3-06
說明: o 本細目在六年級課程應佔相當份量,作為國小課程之總結。本細目之重點在解題,希望能整合國小階段所學到之數、量、運算、數量關係,解未知數等式之經驗,進行應用問題之解題,包含說明題意,列式表述問題,發展策略解題。傳統之應用問題:雞兔問題、年齡問題、龜兔賽跑等,皆屬於本細目。
o 希望學童能分析問題,列出多步驟之算式來解題(不一定用算式填充題)。
o 常用的數量關係包括:和不變、差不變、積不變、比例關係等。
o 例:(年齡問題)「小麗今年12歲,爸爸與小麗的年齡相差24歲,再過幾年爸爸的年齡是小麗的兩倍?」
o 例:(平均問題)「小明的國語、社會、自然三科平均為90分,問小明的數學要考多少分才會讓四科平均達到88分?」
o 例:(追趕問題)「小英跑步的速度是每秒5公尺 ,小麗跑步的速度是每秒4公尺,兩人賽跑,如果小麗在小英前方40公尺,請問小英何時可以趕上小麗?」
o 例:(雞兔問題)「倉庫中有一種輪胎100個,可以裝在六輪小貨車上,也可以裝在四輪汽車上,今天裝配了22輛車子,剛好將輪胎都用光,請問這些車子中,有幾輛是六輪小貨車,有幾輛是四輪汽車?」


6-n-11* 能以適當的正方形單位,對曲線圍成的平面區域估算其面積。(同6-s-03*) N-3-15
S-3-03
說明: o 本細目為「次要細目」。
o 對曲線圍成的平面區域進行面積的估算。只要能估計面積的上下限即可,不需要對跨周界的面積單位,進行更細緻的估算。

6-n-12 能理解圓面積與圓周長的公式,並計算簡單扇形面積。(同6-s-04) N-3-16
S-3-04
說明: o 可由圓周長的實測理解圓周長與直徑成比率,其比率(比值)稱為圓周率,在教學上教師應說明圓周率大約為3.14。
o 理解圓面積公式為圓周率×半徑×半徑。
o 簡單扇形面積的計算可與分數平分的操作相互加強。知道半圓、14圓、18圓的面積計算方式。

6-n-13 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。(同6-s-06) N-3-17
S-3-06


幾何

6-s-01 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。 S-3-01
說明: o 例:由三角形的內角和為180度(參見5-s-01),推知四邊形之內角和為360度。
o 例:能計算複合或重疊圖形的面積或體積,如下圖:


6-s-02 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響,並認識比例尺。 S-3-02
說明: o 從影印機的縮小放大(如50%),利用實測,知道任兩點之間的距離也以相同的比例縮小放大(如變成一半),但是角度沒有變化(而面積卻變成原來的12 ×12=14)。如果將圖形放大成3倍,角度不變,長度變3倍,但面積變成3 ×3=9倍。
o 能利用平行四邊形、三角形與梯形的面積公式,說明面積變化的事實。
o 介紹地圖的使用,認識比例尺,並經由地圖的實測來計算距離。

6-s-03* 能以適當的正方形單位,對曲線圍成的平面區域估算其面積。(同6-n-11*) N-3-15
S-3-03


6-s-04 能理解圓面積與圓周長的公式,並計算簡單扇形面積。(同6-n-12) N-3-16
S-3-04


6-s-05 能認識直圓錐、直圓柱與直角柱。 S-3-05


6-s-06 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。(同6-n-13) N-3-17
S-3-06

代數

6-a-01 能理解等量公理。(同6-n-06) A-3-02


6-a-02* 能使用未知數符號,將具體情境中的問題列成兩步驟的算式題,並嘗試解題及驗算其解。 A-3-03
A-3-04
A-3-06
說明: o 本細目為「次要細目」。
o 本細目之發展為讓學生嘗試使用△、□、甲、乙、?、…等符號,將具體情境中之問題列成含有△、□、甲、乙、?、…等符號的算式,透過加減互逆運算、乘除互逆運算、四則運算規則等經驗,學童應可依題意與自己的解題步驟,將解法列出。所以布題應貼近學生生活面,提供學生熟悉的問題情境,協助學生思考。
o 學生使用△、□、甲、乙、?、…等符號,將具體情境中之問題列成算式後,可讓學生再嘗試將具體情境中之問題列成含有x、y、…等符號的算式。
o 對國小學童,運用未知數來列出問題中的數學關係,比較困難。本細目旨在讓學童練習根據問題的敘述,將欲求的答案用未知數表示,並根據題目的敘述,列出恰當的算式填充題。由於只是代數的前置經驗,在學童列題時不管未知數出現在哪裡都可以(例如:15+5×□=45)。難度的上限為兩步驟問題。
例如:「小明買一支15元的原子筆和5枝鉛筆,總共花了45元,請問一支鉛筆多少錢?」,學生可以依題意列式成15+5×□=45,或列出15+5×甲=45的算式,透過對問題情境的了解,可以發現全部所花掉的錢減去原子筆的錢就是5枝鉛筆的錢,所以5×□就等於30元,再透過30÷5即可算出一支鉛筆的錢。
本細目與四年級及五年級相關能力指標之差異為符號係數可以不是1,但建議為整數。
o 本細目配合分數計算之教材,計算之結果可為分數。
6-a-03 能利用常用的數量關係,列出恰當的算式,進行解題,並檢驗解的合理性。(同6-n-10) N-3-14
A-3-03
A-3-04
A-3-05
A-3-06


6-a-04* 能在比例的情境或幾何公式中,透過列表的方式認識變數。 A-3-07
說明: o 本細目為「次要細目」。
o 例:當變化長方形的邊長時,長方形可能變化為正方形。這時面積公式也會變為相對應的面積公式。
o 例:當變化梯形的一個平行邊長時,梯形可能變化為平行四邊形或三角形。這時面積公式也會變為相對應的面積公式。
o 例:若小英5秒跑25公尺,10秒跑50公尺,15秒跑75公尺,20秒跑100公尺,用一維表格清楚紀錄(如下表),有助於學童釐清其關係。
時間(秒) 5 10 15 20 30 40 50 60
距離(公尺) 25 50 75 100 200 300
可以空下某些位置,讓學童填寫,在這個過程中讓學童理解這是兩個在變化的量,但是這兩個量有一個關係,此即正比關係。
o 這是國中變數、函數的前置經驗,不宜過份評量。

6-a-05 能用中文簡記式表示圓面積、圓周長與柱體的體積公式。 S-3-04
S-3-06
說明: o 圓面積=半徑×半圓弧長,或是圓面積=半徑×半徑×圓周率。
o 圓周長=直徑×圓周率,或是圓周長=半徑×2×圓周率。
o 柱體體積=底面積×高。


統計與機率

6-d-01 能整理生活中的資料,並製成圓形圖。 D-3-01
o 本細目應納入6-s-04扇形面積的教學活動,不須另立教學單元。
o 若無先後、大小、位置關係的資料也可以圓形圖來表現。教學時,可以各組次數除以所有資料次數總和所得的百分率或比值,轉換成圓心角的角度後來製作圓形圖。
o 例:對50位國中男生最喜歡的休閒活動作調查後,將各項活動的人數加以整理後如表1,來製作圓形圖,如圖1。

表1
活動別 打籃球 跳繩 閱讀 聊天 畫圖
人數 15 7 8 12 8

圖1

o 圖1以百分率來取代人數,可以從圓形圖中看出喜好各項活動人數的比例。若將各組資料以人數表示,也可由圓形圖中看出各組資料間的相對關係。

圖2


(七)七年級
數與量

7-n-01 能以「正、負」表徵生活中相對的量,並認識負數是性質(方向、盈虧)的相反。 N-3-08
說明: o 例:往東10步若記為+10,往西4步則記為-4。
o 例:第一週公司盈餘 5000萬記為 +5000,第二週若虧損1000萬則記為
-1000。

7-n-02 能認識如5及-5在數線上的相對位置。 N-3-08
說明: o 如5、-5兩數對於原點的距離相等但方向相反,稱為相反數。


7-n-03 能在數線上判別數的大小。 N-3-09
說明: o 在數線上,我們稱0的位置為原點,且應將負數(負整數、負分數、負小數)標記在原點的左邊,正數標記在原點的右邊。這樣我們會發現數線上愈右邊的數愈大,愈左邊的數愈小,如-100 <-3 < 0 <10。
o 能在脫離數線的情況下,判斷正、負數的大小。


7-n-04 能在數線上操作簡單的描點,如 、 、 等,並介紹兩點在數線上的間隔。 N-3-09
說明: o 以有向線段表示簡單運算,如表示-2+4的圖示為下圖:
+4

-2 0 2

7-n-05 能認識絕對值符號,並理解絕對值在數線上的圖義。 N-3-10
說明: o 能認識絕對值符號,知道一數加上絕對值後,取其正值,如: |-5| = 5,|5| = 5。
o 能認識在數線上一數的絕對值等於此數與原點的距離,例如,上圖點-2至原點的距離為2,而-2的絕對值|-2| = 2。

7-n-06 能用絕對值的符號表示數線上兩點間的間隔(距離)。 N-3-10
說明: o 數線上兩點如2、-3其距離為5,亦可以用|-3-2| 或 | 2-(-3)|表示。

7-n-07 能運算絕對值並熟練其應用。 N-3-10
說明: o 絕對值運算的應用相當廣,在不牽涉到方根或方程式解題技巧,可熟練一些運算。
o 例:|甲| = 7,甲= ±7。

7-n-08 能判別兩數加、減、乘、除的正負結果並算出其值。 N-3-11
說明: o 能由相反數和絕對值的輔助快速判斷兩數運算的正、負結果:同號相加,其性質符號與原兩數相同;異號相加,若正數的絕對值較大,和為正;若負數的絕對值大,則為負。兩數相減時,減去一數可看成加上它的相反數。乘法規則可以先以加法歸納,除法則將除數換成倒數以乘法運算。
o 例:-4+(-2)= -6,4 + 5 = 9,
-4+5 = 1,-4+3 =-1,
-3-4=-3+(-4)=-7,
-7×2=-7+(-7)=-14,-7 ÷ 2 = -7 × ,

4-(-3+2)= 4-(-1)= 4+1 = 5。

7-n-09 能理解質數的意義,並認識100以內的質數。 N-3-01
說明: o 能理解質數的定義,並能檢驗100以內的任何數是否為質數。

7-n-10 能理解因數、質因數、倍數、最大公因數和最小公倍數,並熟練質因數分解的計算方法。 N-3-02
說明: o 能由尋找正整數的正因數和正倍數的過程理解短除法、和質因數分解的計算方法。
o 教學以熟練質因數分解的計算方法為主,正整數位數不宜過高。
o 例:48的標準分解式:

2 48
2 24
2 12
2 6
3

所以48 = 2×2×2×2×3(或2.2.2.2.3),其中2、3稱為48的質因數,而1、2、3、4、6、8、12、16、24、48皆為48的因數,且48則為1、2、3、4、6、8、12、16、24、48的倍數。
o 例:求36,48的的最大公因數。
仿上,36的因數有1、2、3、4、6、9、12、18、36,則兩數最大公因數為12,亦可簡化兩者的因數分解為:

2 36 48
2 18 24
3 9 12
3 4


則兩數的最大公因數(36,48)= 2×2×3 = 12,而兩數的最小公倍數 [36,48] = 2×2×3×3×4 = 144。
o 做正整數的質因數分解時,其質因數以不大於47為宜。
o 能解相關應用問題。
例:一數既是2的倍數,也是3的倍數,那麼一定也是哪個數的倍數?為什麼?


7-n-11 能以最大公因數、最小公倍數熟練運用至約分、擴分、最簡分數的計算。 N-3-02
說明: o 銜接N-3-04,加入負數的四則運算,並能化至最簡分數。
o 例:- =- , 。


7-n-12 能理解負數的特性並熟練數(含小數、分數)的四則運算。 N-3-11
說明: o 分數負號的位置並不影響分數的值,如: 。

o 熟練負數的帶分數的運算,如 : 。

o 熟練負數的分數和小數互換,如:120 × (-0.125)= 120 ×(- )。

o 負數的倒數,如:(- )× ﹖= 1。

o 理解負數乘負數得出正數,如: , 。

o 熟練交換律、結合律的代數運算,並用以簡化計算。

7-n-13 能理解底數為整數且指數為非負整數的運算,如 、 、 等。
N-3-12
說明: o 介紹指數律:m,n≧0, , (m≧n), 。

o 例: ,[36, 48] = 。


7-n-14 能理解底數為分數且指數為非負整數的計算。 N-3-12
說明: o 例: , , 。


7-n-15 能用以十為底的指數表達大數或小數(包括日常生活長度、重量、容積等單位,如奈米、微米、公分或厘米、公尺或米、…)。 N-3-13
說明: o 能知道自然科學領域常用的單位名稱,如:1奈米 = 米(公尺)、1微米= 米、1毫米(公厘) = 米(公尺)、1莫耳 = 個等。


7-n-16 能理解比例的意義(以實例說明正比、反比關係的意義)。 N-3-05
N-3-06
說明: o 例:甲每分鐘走30公尺,乙每分鐘走18公尺,甲、乙速度比為30 : 18。
o 例:丙30分鐘走了261公尺,40分鐘可以走多遠?
o 例:100公尺賽跑,甲每分走30公尺,乙每分走18公尺,甲、乙時間比為18 : 30。

7-n-17 能熟練比例式的基本運算(含a:b=c:d帶/b=c/d; a:b=c:d帶d=bc; a:b=c:d a=bk,c=dk; a/b=c/d帶d=bc; a/b=c/d a=bk,c=dk;比的化簡)。 N-3-07
說明: o 例: 3 : 4 = 5 : ,則 = 20/3(代數部分A-3-07已加入)

o 例: = 100,D在 上, = 2 : 5,則令 = 2x, = 3x解之。

7-n-18 能理解連比和連比例的意義。 N-3-07
說明: o 例:a : b = 1 : 2,b : c = 3 : 4,a : b : c = 3 : 6 : 8。
o 例:a : b : c = 3 : 6 : 8和 同義。



7-n-19 能熟練連比例式的應用,如單位換算、三角形面積與邊長或圓面積與半徑間的變化關係。 N-3-06
N-3-08
說明: o 例:將3400元按3:6:8分給甲、乙、丙三人,每人各得多少元?
o 例:1公升=1000c.c,400c.c合多少公升?
o 例:兩圓半徑分別為5、6,求面積和周長比各為多少?
o 例:△ABC中, 三邊長分別為10,12,15,則其邊上的高之比為 = 6 : 5 : 4。

o 例:若1公里 = 1000公尺,1公尺 = 100公分,則1公里 = ?公分,1公分= ?公里。

代數

7-a-01 能由命題中用 、 等符號列出生活中的變量,並列成算式。
A-3-04
說明: o 以 、 等符號記錄生活情境中的數學式。

o 例:若有5元郵票 張,則可列出5 元代表郵票面額總值。

o 例:若有5元郵票 張,2元郵票 張,則可列出( 5 +2 )元代表面額總值。因此,當 =2, =2時,郵票面額總值為14元。


7-a-02 能嘗試以代入法或枚舉法求一次方程式的解,並檢驗解的合理性。 A-3-05
A-3-07
說明: o 以代入法或枚舉法求出一次式的解,並判斷其解是否適合於原問題情境。
o 例:想用32元購買5元郵票 張,2元郵票 張。若以代入法或枚舉法解5 +2 =32,其解有無限多組,其中 、 必須為非負的整數,所以(5, 7/2)這組解是不合於原問題情境。

7-a-03 能熟練符號的代數操作。 A-3-07
說明: o 能理解並能以符號表徵交換律、分配律、結合律等的運算,例 , , + = ( +1)。
o 能對算式中相同的文字符號、常數進行合併或化簡。
o 應注意1 × 和(-1)× 可分別簡記為 和 - 。

o 能化簡如2 - + 5 + 2 + 1的式子。



7-a-04 能由具體情境中列出一元一次方程式,並理解其解的意義。 A-3-08
A-3-14
說明: o 例:「老師帶兩盒一樣的口香糖,要發給全班32個小朋友,如果每人發2條,總共還剩8條,問每盒裝幾條口香糖?」。依題意,設每盒口香糖有 條,則可列出一元一次方程式 = 8。

o 例:「 小明帶50元到書店買彩色筆後祇剩1元。若每枝彩色筆售價為7元,問小明共買幾枝?」。依題意,以 代表彩色筆的數量,則可列出一元一次方程式7 + 1 = 50。

o 例:(年齡問題)「小麗今年12歲,爸爸與小麗的年齡相差24歲,再過幾年爸爸的年齡是小麗的兩倍?」。依題意,小麗的年齡=12歲,爸爸的年齡 =(12+24)歲,設再過 年後,爸爸的年齡是小麗的兩倍,則可列出一元一次方程式 。
o 方程式解的意義就是方程式中未知數所代表的值,也就是能使方程式的等號成立的所有值。具體操作時,可將數值分別代入等號左邊與右邊的式子,判斷兩式之值是否相等。

7-a-05 能以等量公理來解一元一次方程式,並作驗算。 A-3-02A-3-08
說明: o 能理解等量公理「等式左右同加、減、乘、除一數(除數不為0)時,等式仍然成立」的概念。如: 已知 a=b,則 a+c=b+c,a-c=b-c,a×c=b×c,a÷c=b÷c(c≠0)。
o 透過生活經驗中「對等量之物做相同之運作仍會等量」的觀念,進而理解移項法則。

7-a-06 能利用移項法則來解一元一次方程式,並作驗算。 A-3-08
說明: o 能理解等號的對稱性表示:若a=b,則b=a。如:若已經知道2+3=5,則5=2+3,即為數量等號對稱性之表現。又如:若2=3x,則3x=2,即為式子的等號對稱性之表現。本細目也強調讓學生理解等號的對稱性,如此將有助於了解-2=8x即為8x=-2,此動作是無法用等量公理解釋的。
o 能理解等號的遞移律(如a=b,b = c,則a =c)。
o 以解 -3 = 6為例,左右兩式同除以-3,也是生活經驗上難以等量公理來說明。

o 以等量公理延伸至更具演算功能的移項法則,例 -3 = 6, = 6 ÷(-3)解得 = -2,且宜協助學生養成寫答案時將未知數寫在等號左邊的習慣。
o 例: 解 – + 8 = 7 + 6 …… (1)
2 = 8 …………(2)
8 = 2 …………(3)
得到 = 1/4。 其中步驟(2)至(3)是引用等號對稱性質,並非移項法則。若學生已能理解所有步驟時,應引導他(她)們省略步驟(2)。

7-a-07 能由具體情境中列出一元一次不等式。 A-3-09
A-3-14
說明: o 例:若飲料一杯20元,塑膠袋一個1元,想以不超過50元來購買 杯飲料及一個塑膠袋,則可列出 20 + 1 ≦ 50。


7-a-08 能利用移項法則在數線上找出一元一次不等式的解。 A-3-06
A-3-09
說明: o 能理解不等號的遞移律(如a>b,b>c,則a>c,或是如a<b,b<c,則a<c)。
o 以移項法則找出形如 +5<8、2 +8<6、5- ≧7、–2 ≦62等類型之不等解的範圍,並以數線表示之。
o 不等式左右同乘、除一負數(除數不為0)時,對不等式的影響宜再次強調,且宜安排由易至難的不等式解題活動,讓學生逐步熟練。

7-a-09 能由具體情境中描述一元一次式解的意義。 A-3-09
說明: o 以不同的題例,分別列出等式與不等式兩類式子,並求出所有可滿足式子的數,再配合具體情境,檢驗其合理性。
o 例: 已知肉一斤100元,烤肉架一個150元,若想以不超過1000元買一個烤肉架及若干肉來烤肉,可以 斤代表肉的重量列出不等式 150+100 ≦1000,可解出 ≦8.5,但以具體情境來說正確的解是0≦ ≦8.5。


7-a-10 能由具體情境中列出二元一次方程式,並理解其解的意義。 A-3-10
A-3-14
說明: o 二元一次方程式解的意義就是方程式中 、 所代表的值,也就是能使方程式的等號成立的所有 、 值。一般不要求學生將二元一次方程式的解一一求出,可利用代入法或枚舉法檢驗或找出方程式的一些解,同時讓學生知道二元一次方程式的解不是唯一的。
o 例:小玉想用60元全部購買5元及2元的郵票,若設5元郵票 張,2元郵票 張,則可以二元一次方程式5 +2 =60來求解。
o 檢驗二元一次方程式是否符合題意。

7-a-11 能運用直角座標系來標定位置。 A-3-11
A-3-12
說明: o 由直線座標系擴展至二維的直角座標,並介紹相關定義及內容(含縱軸、橫軸和象限之術語,直角座標系上座標的定義,在直角座標系上描出已知數對應的點,四個象限上的符號規則等)。
o 能運用直角座標及方位距離來標定位置(不以勾股定理來計算距離)。
o 例:學生能利用直角座標系標定教室中的座位。
o 例:能知道颱風中心在某處(如:恆春)東方100公里的意義。

7-a-12 能認識變數與函數。 A-3-07
說明: o 舉出實例,介紹兩種量的特別關係,如比例關係,並以符號及算式、文字敘述、對應值的表列來描述函數的結構,說明自變數與應變數之間的關係。

7-a-13 能舉出例子,說明一次函數是一種特殊的比例對應關係。 A-3-07
A-3-11
說明: o 例:自強號火車的行駛速率為每小時120公里,假設其依固定速率行駛,下表為行駛時間與行駛距離的數據記錄:

行駛時間(小時) 行駛距離(公里)
1 120
2 240
3 360

依照上表,可觀察出火車在固定速率時,位移 與時間 的比例關係可以一次函數 來表示。

o 例:華氏溫度與攝氏溫度的變化是成比例關係,如 ,其中y為應變數, 為自變數,且 代表華氏溫度, 代表攝氏溫度。


7-a-14 能在直角座標平面上描繪一次函數的圖形。 A-3-11
說明: o 以描繪已知點的方法來繪製一次函數的圖形,如 ,並觀察其圖形成一直線的現象。
o 一次函數又稱線型函數。

7-a-15 能在直角座標平面上描繪二元一次方程式的圖形。 A-3-11
說明: o 將生活中含有線性關係的數量表徵式 ,a,b皆不為0,轉換為直角座標平面上圖形的表徵,並透過操作、觀察、歸納,建立其圖形為直線的觀念,進而理解此直線亦是一次函數 , ,的圖形。

o 能理解二元一次方程式 的係數 , 其中之一為零時,其圖形分別是水平線或鉛直線。

7-a-16 能由具體情境中列出二元一次聯立方程式,並能理解其解的意義。 A-3-13
A-3-14
說明: o 二元一次聯立方程式的解就是方程式中 、 所代表的值,能使二元一次方程式的等號同時成立的所有 、 值。
o 例(雞兔問題):倉庫中有一種輪胎100個,可以裝在六輪的小貨車上,也可以裝在四輪汽車上。今天裝配了22輛車子,剛好將輪胎都用光,請問這些車子中,有幾輛是六輪小貨車,有幾輛是四輪汽車?
設六輪小貨車有 輛,四輪小貨車有 輛,則可列出二元一次聯立方程式


來求解。

7-a-17 能在直角座標平面上認識解二元一次聯立方程式的解。 A-3-11A-3-13
說明: o 二元一次方程式的解與二元一次聯立方程式的解,可透過其在平面直角座標系上的圖形關係適當的連結起來。
o 若座標平面上兩直線相交於一點,對應的二元一次聯立方程式恰有一解。

7-a-18 能熟練使用消去法解二元一次聯立方程式。 A-3-13
說明: o 能使用代入消去法與加減消去法解二元一次聯立方程式。
o 解題時,可引導學生先觀察要用那一種方法較簡易。

(八)八年級

數與量

8-n-01 能理解二次方根的意義。 N-4-01
說明: o 稱為a的二次方根,或稱為平方根,讀為二次根號a,或簡讀為根號a。

o 能理解如 皆為3的平方根。

o 能理解 僅能在a不為負數時才有意義。


8-n-02 能求二次方根的近似值。 N-4-01
說明: o 能理解如何估算如 的整數部分。

o 能用十分逼近法(小數位數不多於一位),並以四捨五入求如 的近似值。

o 可用電算器求出近似值。

8-n-03 能理解二次方根最簡式的意義,並做化簡。 N-4-02
說明: o 能化簡如 、 等的表示式。

o 能認識同類二次方根,如 。


8-n-04 能理解二次方根的加、減、乘、除規則。 N-4-02
A-4-01
說明: o 例:化簡 。

o 例:化簡 。
o 配合多項式乘法公式的教學,如A-4-01,推廣至二次根式的有理化。
o 例:利用乘法公式 將 化為 +1。

o 例:化簡 。

o 例:求解 。


8-n-05 能在日常生活中,觀察有次序的數列,並理解其規則性。 N-4-03
說明: o 數列常見於高速公路里程標示、火車座位號碼、計程車計費碼表等。從某些簡單、具規則的數列如:179,182,185,…和 2,4,7,11,16,…等練習數列的相關名詞,並理解其規則性。

8-n-06 能觀察出等差數列的規則性。 N-4-04
說明: o 觀察等差數列的樣式時,如;
樣式一:1,2,3,4,5,……,n
樣式二:3,6,9,12,15,……,3n
樣式三:5,8,11,14,17,………,3n+2
樣式一有一規律:後一項都是前一項加1。
樣式二與樣式三都有一規律:後一項都是前一項加3。
樣式二與樣式一的關係為:樣式二的各項是樣式一的3倍。樣式三與樣式二的關係為:樣式三的各項比樣式二多2。如此,樣式三與樣式一的關係為:樣式三的各項是樣式一的3倍多2。
o 例:等差數列80,77,74…中,求首項,公差與第14項。
o 例:若三數成等差數列,等差中項為7,求前後兩項之和。

8-n-07 能利用首項、公差計算出等差數列的每一項。 N-4-04
說明: o 例:己知一等差數列的首項為5,公差為7,求第8項。
o 例:己知一等差數列的首項為a,公差為7,求第8項。
o 例:己知一等差數列的首項為a,公差為d,求第8項。
o 例:已知一等差數列的首項為a,公差為d,求第n項。

8-n-08 能由觀察和推演,導出等差級數的公式,從理解公式到解題,並能活用於日常生活。 N-4-05
說明: o 級數求和公式,能多理解以輔助記憶,練習中強化計算。
o 例:求等差級數 …前十一項之和。

o 例:若首項為6的等差級數,己知前十項之和為{285,求公差及第十項。

幾何

8-s-01 能認識生活中的平面圖形(三角形、四邊形、多邊形及圓形)。 S-4-01
說明: o 生活中的平面圖形已於國小階段4-s-02學習,本細目的重點在於明確定義及符號的理解。
o 舉生活中例子並用直觀概略說明和三角形、四邊形、多邊形及圓形有關的圖形。
o 多邊形:
*認識一般凸多邊形(四邊以上)形狀。
*認識正多邊形( 四邊以上)形狀。

8-s-02 能認識並定義簡單幾何圖形的點、線、角(含符號: 、 )。
S-4-01
說明: o 點、線、角的認識及符號介紹。
o 兩線段及兩角比較大小。
o 認識角的種類:銳角、直角、鈍角、平角、周角。
o 認識兩角的關係:互補、互餘、對頂角。

8-s-03 能認識圓形的定義及相關名詞(圓心、半徑、弦、直徑、弧、弓形、圓心角、扇形)。 S-4-01
說明: o 在同一平面上與一定點等距離的所有點所成的圖形稱為圓。
o 能認識圓心、半徑、弦、直徑、弧、弓形、圓心角、扇形等名詞。
o 能理解扇形面積計算公式。

8-s-04 能認識尺規作圖。 S-4-07
說明: o 利用直尺(沒有刻度)、圓規製作圖形稱為尺規作圖。
o 能以尺規作圖作線段、角、圓弧、圓周、扇形、角的複製。

8-s-05 能利用直角定義兩直線互相垂直,以及利用垂直於同一直線定義兩直線互相平行。 S-4-06
S-4-11
說明: o 理解垂直及平行的定義。
o 認識如 峞B// 垂直及平行的符號。

8-s-06 能具體說明兩平行線間距離處處相等。 S-4-06
說明: o 平面上一直線同時垂直兩直線時,兩垂足的距離稱為最短距離。
o 兩平行線間最短距離處處相等。

8-s-07 能熟練基本尺規作圖。 S-4-07
說明: o 以尺規作圖做線段平分、角平分線、垂直線、中垂線、平行線。
o 垂直線:包含作一直角、過線上一點作垂線、過線外一點作垂線。
o 中垂線:在一線段上取中點,再由該中點上做該線段的垂直線。
o 平行線:過線外一點作垂線,再於垂線上一點作另一條垂線。

8-s-08 能認識平行線的基本性質。 S-4-06
說明: o 在同一平面上,若直線L分別與兩平行線M、N相交於不同兩點,可形成八個角。
o 認識直線L截過M、N後形成的同位角、同側內角、內錯角等名詞。
o 認識同位角相等、內錯角相等。
o 能理解當截線L同時垂直M、N時,同位角、內錯角、同側內角皆為直角。


8-s-09 能以最少性質辨認三角形。 S-4-01
S-4-08
說明: o 平面上給定三個相異且不共線點,連接此三點的線段所圍成的區域稱為三角形。
o 可以尺規作圖理解三角形兩邊之和大於第三邊的基本性質。
o 理解三角形內角、外角的定義。
o 理解有一個內角是直角的三角形稱為直角三角形。

8-s-10 能理解平面圖形線對稱的意義。 S-4-04
說明: o 以生活中的平面圖形為例,來理解單一圖形透過格子點作出線對稱的鏡射圖形。
o 認識對稱點、對稱線、對稱角、對稱軸。
o 兩對稱點連線被對稱軸垂直平分。
o 透過格子點作出直角三角形的線對稱圖形。

8-s-11 能理解特殊三角形的定義。 S-4-08
說明: o 可以平面圖形線對稱的意義或尺規作圖來理解兩邊等長,或二個內角相等的三角形,稱為等腰三角形。
o 理解三邊都等長,或三個內角都相等的三角形,稱為正三角形。
o 理解三個內角都為銳角的三角形,稱為銳角三角形。
o 理解有一個內角為鈍角的三角形,稱為鈍角三角形。

8-s-12 能理解三角形的基本性質。 S-4-08
說明: o 三角形兩邊之和大於第三邊、兩邊之差小於第三邊。
o 三角形內角和為180度、外角和為360度。
o 可以平行線的截線性質,來說明三角形的內角和定理、外角和定理、外角定理;或以邊在頂點旋轉的方法來說明三角形的外角和定理、內角和定理、外角定理。

8-s-13 能理解特殊三角形的性質。 S-4-08
說明: o 利用線對稱性質說明等腰三角形兩底角相等。
o 利用線對稱性質及平角180度說明等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊。
o 可利用尺規作圖觀察直角三角形斜邊中點與對角的頂點連線為斜邊的一半。

8-s-14 能以尺規作圖理解兩個三角形全等的意義。 S-4-07
S-4-08
說明: o 以尺規作圖複製三角形的邊來理解三角形的對應邊相等時(SSS),則兩個三角形全等。
o 介紹SAS、ASA、AAS全等性質。
o 全等符號介紹。

8-s-15 能理解三角形的全等性質。 S-4-08
說明: o 理解三角形SSS、SAS、ASA、AAS及RHS全等性質。
o 能以全等性質做簡單的推理。

8-s-16 能理解三角形邊角關係。 S-4-08
說明: o 能理解直角三角形三邊關係(勾股定理)。
o 一個三角形中,若兩邊不相等則大邊對大角。
o 一個三角形中,若兩角不相等則大角對大邊。

8-s-17 能理解四邊形的基本性質。 S-4-01
S-4-09
說明: o 利用三角形的內角和定理,來理解四邊形內角和360度。
o 利用邊在頂點旋轉的方法來說明四邊形的外角和定理

8-s-18 能理解特殊四邊形的定義。 S-4-01
說明: o 理解四個內角都是直角的四邊形稱為長方形,又稱矩形。
o 理解四個內角都是直角且四邊等長的四邊形稱為正方形。
o 理解只有一組對邊平行的四邊形稱為梯形。
o 理解二組對邊平行的四邊形稱為平行四邊形。

8-s-19 能作出正方形及平行四邊形的圖形。 S-4-06
S-4-07
說明: o 以尺規作圖作出正方形及平行四邊形。
o 觀察正方形及平行四邊形對角線的關係。

8-s-20 能由面積關係導出直角三角形三邊的關係。 S-4-05
A-4-03
說明: o 能理解四個直角三角形所拼出大小正方形面積關係及二個直角三角形所拼出梯形面積關係。
o 本細目應安排在「乘法公式」的相關章節,其用意在證明勾股定理。
o 面積關係:(下圖中六個直角三角形全等),與8-a-08同。

8-s-21 能理解平行線截線性質:兩平行線同位角相等;同側內角互補;內錯角相等。 S-4-11
說明: o 在同一平面上,直線L分別與直線M、N相交於不同兩點,L叫做M與N的截線。
o 截線L截過M、N後形成八個角,可分為:同位角、同側內角、內錯角。

8-s-22 能理解平行線的判別性質。 S-4-11
說明: o 在同一平面上,兩直線被一直線所截,若同位角相等,或內錯角相等,或同側內角互補時則此兩直線平行。


8-s-23 能理解平行四邊形的意義與性質。 S-4-01
S-4-09
說明: o 理解兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形。
o 理解平行四邊形的基本性質:
* 一條對角線將平行四邊形分成兩個全等三角形。
* 平行四邊形的對邊相等。
* 平行四邊形的對角相等。
* 平行四邊形的兩對角線互相平分。

8-s-24 能理解平行四邊形的判別性質。 S-4-09
說明: o 若四邊形的兩對邊分別相等,則此四邊形必為平行四邊形。
o 若四邊形的兩對角分別相等,則此四邊形必為平行四邊形。
o 若四邊形的兩對角線互相平分,則此四邊形必為平行四邊形。
o 若四邊形的一組對邊平行且相等,則此四邊形必為平行四邊形。

8-s-25 能理解平行四邊形的面積公式。 S-4-04
說明: o 平行四邊形的面積=底×高。

8-s-26 能理解梯形的意義與性質(包含梯形中線性質)。 S-4-09
說明: o 理解只有一組對邊平行的四邊形稱為梯形。
o 理解兩腰等長的梯形稱為等腰梯形。
o 理解梯形兩腰中點連線稱為梯形中線,梯形中線長 =(上底+下底)÷2。
o 梯形面積=(上底+下底)×高÷2,或中線長×高。

8-s-27 能利用三角形內角和為180度的性質,解決多邊形內角和、與外角和定理的問題。 S-4-09
說明: o 可以多邊形分割成三角形的組合,來理解多邊形的內角與外角性質:
* 多邊形的內角和為(n-2)×180度,及外角和為360度,其中n為邊數。
* 計算正多邊形每一外角度數。
* 計算正多邊形每一內角度數。

8-s-28 能辨識一個敘述及其逆敘述間的不同。 S-4-10
說明: o 體會簡單邏輯概念。
o 例:正三角形有兩邊等長,但有兩邊等長的三角形不只正三角形。


8-s-29 能利用平面圖形的性質解決周長問題。 S-4-04
說明: o 計算三角形、四邊形周長。
o 圓周長:直徑×π。
o 圓弧長:圓周長×(q/360);q表示對應圓心角的度數。
o 計算弓形、扇形周長。

8-s-30 能利用圓的性質解決扇形面積問題。 S-4-04
說明: o 扇形面積計算公式:半徑×半徑×π×(q/360);q表示對應圓心角的度數。

8-s-31 能描述複合平面圖形構成要素間的可能關係。 S-4-03
說明: o 由基本平面圖形組合而成之圖形稱為複合平面圖形。
o 例:能指出某個窗戶是長方形及半圓形所拼成的,且長方形的寬是圓的直徑。


8-s-32 能計算複合平面圖形的周長及面積問題。 S-4-03

8-s-33 能以最少性質辨認立體圖形。 S-4-01
說明: o 由空間中多邊形的面所圍成的立體圖形稱為多面體。
o 能理解正三角柱、正方體、長方體、正四角柱及圓柱等柱體,正三角錐、正四角錐及圓錐等錐體的頂點、面、邊的組合因素。
o 能理解長方體、正方體、正角錐、正角柱、圓錐、圓柱等立體的基本展開圖,但不宜操作過份複雜的展開圖。

8-s-34 能描述複合立體圖形構成要素間的可能關係。 S-4-03
說明: o 複合立體圖形:由基本立體圖形組合而成之圖形。
o 例:能指出某個燈塔是由圓錐和圓柱所拼成的,且圓錐和圓柱底面積一樣。

8-s-35 能計算柱體表面積的問題。 S-4-04
說明: o 柱體表面積:國中階段僅做直立柱體的表面積。
o 計算圓柱體表面積:利用側面展開成長方形。
o 錐體的表面積:僅作利用側面展開成扇形的簡單型錐體。

8-s-36 能計算簡單複合立體圖形的體積及表面積問題。 S-4-03
S-4-04
說明: o 正柱體體積:底面積×高。


代數

8-a-01 能熟練二次式的乘法公式,如 、 、 、 。
A-4-01
說明: o 能熟練乘法的分配律,如: 。

o 以面積的計算及代數的交叉相乘的方法導出上列乘法公式,並利用乘法公式進行簡單速算以增進對公式的熟練運用。
o 可以安排應用乘法公式的教學活動,例如:101×99 =(100+1)(100-1)。

8-a-02 能理解簡單根式的化簡及有理化。 N-4-02
A-4-01
說明: o 與8-n-05相同。

8-a-03 能認識多項式及相關名詞。 A-4-02
說明: o 教學上可從實例介紹多項式的定義及相關名詞,如:項數、係數、常數項、一次項、二次項、最高次項、升冪與降冪。

8-a-04 能熟練多項式的加法和減法。 A-4-02
說明: o 能以直式、橫式或分離係數法做多項式加法與減法的運算。

8-a-05 能熟練多項式的乘法(利用分配律及直式算法來計算)。 A-4-02
說明: o 利用分配律及直式乘法算則操作多項式的乘法。
o 一般多項式乘法所得之乘積最高至三次,但使用8-a-01所列公式的計算不在此限。

8-a-06 能熟練多項式的除法(如長除法、分離係數法等)。 A-4-02
說明: o 用長除法、分離係數法等作多項式的除法運算,被除式最高至三次,但使用8-a-01所列公式的計算不在此限。

8-a-07 能理解勾股定理(商高定理)。 S-4-05
A-4-03
說明: o 可以從數學史的資料簡要介紹勾股定理的由來,同時知道,勾股定理又稱勾股弦定理、商高定理或畢氏定理(Pythagorean Theorem)的由來,並透過多樣的活動介紹勾股定理,並能介紹其在生活中的應用。

8-a-08
能由簡單面積計算導出勾股定理。 S-4-05
A-4-03
說明: o 使用較直覺的例子來介紹,如四個直角三角形拼出大小正方形面積關係及二個直角三角形拼出梯形面積關係,不宜讓學生學習過多不同的證明。

o 例:以 說明甲的面積=大正方形面積 - 四個直角三角形面積和導出:





o 例:以 梯形面積=(兩全等直角三角形面積)
+(一等腰直角三角形面積)
導出:
=
+


8-a-09 能理解勾股定理的應用。 S-4-05
A-4-03
說明: o 利用勾股定理計算直角三角形第三邊的長,或斜邊的高。
o 能計算平面上兩相異點的距離。例如:求直角座標上(1,3)、(2,5)兩點的距離。

8-a-10 能理解因式、倍式、公因式與因式分解的意義。 A-4-04
說明: o 利用乘法公式和多項式的除法原理,理解因式、倍式、公因式與因式分解。
o 若要將一多項式因式分解完全,就是將其化成幾個多項式的連乘,其中連乘的每個多項式均為有理係數,且無法再降次分解。
o 例:



以上(1)(2)(3)均是正確答案,另外,例如 也是正確解,但比較不常被使用。

8-a-11 能利用提出公因式與分組分解法分解二次多項式。 A-4-04
說明: o 以提出公因式與分組分解法分解二次多項式,分別有其使用時機。
o 例: 一多項式中各項均含有相同的因式時採用提出公因式法,如: 。

o 例: 一多項式的各項雖然沒有共同因式,但經過分組分解後,組與組之間又有共同因式時,採用分組分解法,如:



8-a-12 能利用乘法公式與十字交乘法做因式分解。 A-4-04
說明: o 以乘法公式操作形如, ,兩數平方差的因式分解。

o 以十字交乘法做一般二次三項式的因式分解。

8-a-13 能在具體情境中認識一元二次方程式,並理解其解的意義。 A-4-05
說明: o 方程式解的意義就是方程式中未知數所代表的值,也就是能使方程式的等號成立的所有值。當學生不知道正規解法時,代入正整數找出適當的答案是很自然的反應,但是在解一元二次方程式,這種代入的過程不像之前所學之方程式那麼容易找出答案,也因此能自然引出因式分解等其他方式求解。
o 可以生活上的例子來介紹一元二次方程式。如:一面積為24平方公尺的長方形,已知長比寬多4公尺,問寬為多少?此問題可以x代表寬,則長為x+4,二次多項式 代表長方形面積,則可依據題意列出一元二次方程式 。

o 介紹一元二次方程式的通式 , ,國中階段教學各項係數以整數為原則。
o 多項式方程式的解稱為根。

8-a-14 能利用因式分解來解一元二次方程式。 A-4-05
說明: o 以提出公因式、乘法公式的方法解一元二次方程式。
o 以十字交乘法解一元二次方程式。

8-a-15 能利用配方法解一元二次方程式。 A-4-06
說明: o 以配方法解一元二次方程式是一個結構性很強的方法,對學生也是一個新的解題思維。因此配方法的學習應注意學生的認知轉化,以及各解題步驟間之理解,不可過早進入程序性解題以及口訣的背誦。且配方法的學習重視的是解法的結構性理解,而不是在於解複雜的題型,因此在係數的設定上應適當,不宜造成過繁雜的計算。

8-a-16 能認識判別式,並利用公式解來解一元二次方程式。 A-4-06
說明: o 以配方法導出一元二次方程式的公式解,並由判別式知道一元二次方程式解的性質為兩相異根,或兩根相同,或無解。
o 公式解的推導過程不宜要求學生記憶。

8-a-17 能利用一元二次方程式解應用問題。 A-4-05
說明: o 根據應用問題的題意列出一元二次方程式並求解,再由其解中選擇合於原問題的答案。


(九)九年級

幾何

9-s-01 能根據平行線截線性質作推理。 S-4-11
S-4-15
說明: o 經過三角形一邊的中點且平行於另一邊的直線,一定通過第三邊中點,且此線段長為底邊長度的一半。
o 比例線段性質:當四個線段中,兩個線段的比等於另兩個線段的比時,我們稱這四個線段為比例線段。
o 兩個等高的三角形面積比,等於其底的比。

9-s-02 能對簡單的相似多邊形指出對應邊成比例、對應角相等性質。 S-4-12
說明: o 能理解兩個平面圖形,不論其大小是否相等,只要形狀相同,這兩個圖形相似。
o 能理解兩個同邊數的多邊形,若對應角相等且對應邊成比例時,則這兩個多邊形叫做相似多邊形,記作符號 ∼。
o 能利用座標、比例線段來做相似形的圖形。

9-s-03 能理解三角形的相似性質。 S-4-13
說明: o 理解三角形的AAA(或AA)、SAS、SSS或平行線截相似三角形等相似性質。
o 理解兩相似三角形中,對應邊長之比=對應邊高之比=對應分角線之比=對應中線之比,及對應面積之比=對應邊長平方比。

9-s-04 能理解平行線截比例線段性質。 S-4-13
說明: o 平行線截比例線段性質:設一直線平行於三角形的一邊,且與另兩邊相交,則此直線把這兩邊截成比例線段。
o 判別性質:若一直線把一個三角形的兩邊截成比例線段,則這直線必平行於此三角形的第三邊。
o 連接三角形兩邊中點的線段必平行於第三邊,且長度等於第三邊的一半。
o 計算公式:在△ABC中 在 上, 在 上,且 平行於 ,則
, ,
, 。

9-s-05 能利用相似三角形對應邊成比例的觀念,應用於實物的測量。 S-4-13
說明: o 理解比例計算公式:在△ABC中D在 上, 在 上,且 平行於 ,則
, ,
, 。

o 利用計算公式,應用於實物的測量。

9-s-06 能理解直線與圓及兩圓的關係。 S-4-14
說明: o 理解點與圓的位置關係。
o 理解直線與圓的位置關係。
o 理解切線性質:圓心與切點的連線必垂直此切線。
o 圓心到弦的距離稱為弦心距,且該線段垂直平分此弦。
o 理解兩圓的位置關係及公切線。

9-s-07 能理解圓的相關性質。 S-4-14
說明: o 理解圓心角、圓周角、弦切角等定義。
o 能理解圓內接四邊形的對角互補。
o 能理解圓內接三角形的一邊為直徑時,此三角形必為直角三角形。

9-s-08 能理解三角形外心的定義和相關性質。 S-4-13
S-4-14
S-4-15
說明: o 過三角形三頂點的外接圓圓心稱為三角形的外心。
o 理解三角形的外心至三頂點等距離。
o 理解直角三角形斜邊中點到三頂點等距離。

9-s-09 能理解三角形內心的定義和相關性質。 S-4-13
S-4-14
S-4-15
說明: o 三角形內切圓的圓心稱為內心。
o 理解三角形的內心至三邊等距離。
o 設△ABC周長 ,內切圓半徑 ,則△ABC的面積= 。

o 直角三角形中,內切圓半徑 =(兩股和-斜邊)÷ 2。


9-s-10 能理解三角形重心的定義和相關性質。 S-4-15
說明: o 三角形三條中線必相交於同一點,這個點稱為三角形的重心。
o 理解三角形的重心到一頂點距離等於它到對邊中點的兩倍。
o 理解三角形三條中線將三角形面積六等份。

9-s-11 能以三角形和圓的性質為題材來學習推理。 S-4-15
說明: o 幾何推理:是以『已知條件』及『已知為正確的幾何性質』,推導出結論,這個過程稱為『證明』。
o 教學時可利用填充證明題開始,進而慢慢可獨立完成推理幾何證明的寫作,但推理步驟不宜過多。
o 教學時可以垂直平分線性質、角平分線性質等來學習推理。
o 學習推導三個內角分別為30度、60度、90度及45度、45度、90度的直角三角形邊角關係,可為高中職課程中三角函數的學習基礎。
o 學習推導正三角形面積及高的計算公式。

代數

9-a-01 能以具體情境來理解二次函數的意義。 A-4-06
說明: o 以實例,如正方形面積 與邊長 的關係為 ,來理解二次函數的意義。


9-a-02 能理解二次函數的樣式並繪出其圖形。 A-4-06
說明: o 以描點的方式繪製二次函數 之圖形。


9-a-03 能利用配方法繪出二次函數的圖形。 A-4-06
說明: o 將 以配方法推演成 ,找出頂點坐標(h ,k),然後描繪其圖形。

9-a-04 能計算二次函數的最大值或最小值。 A-4-06
說明: o 利用二次函數圖形的頂點及開口方向,求得二次函數的最大值或最小值。

9-a-05 能應用二次函數最大值與最小值的簡單性質。 A-4-06
說明: o 利用二次函數配方法解出簡單應用問題之最大值或最小值。

9-a-06 能理解二次函數的圖形與拋物線的概念。 A-4-06
A-4-07
說明: o 將二次函數透過描點、觀察、歸納並建立其圖形為拋物線的概念。
o 認識開口向下的拋物線與水平軸的兩個交點,為其對應一元二次方程式的根,也為物體拋射運動的水平起點與落點。

9-a-07 能理解拋物線的線對稱性質。 A-4-07
說明: o 介紹拋物線的對稱軸與頂點。
o 說明拋物線對稱軸的線對稱性質。

統計與機率
9-d-01 能將原始資料整理成次數分配表,並製作統計圖形,來顯示資料蘊含的意義。 D-4-01
說明: o 將資料發生的「次數」或「人數」視需要加以排序或分組整理而成的表格統稱為次數分配表。
o 「累積次數」則為經排序或分組整理後,依序累加至各筆或各組資料的次數;「相對次數」是將各筆或各組資料的次數除以總次數所得的比值;「累積相對次數」則為依序累加至各筆或各組的相對次數。通常以小數、真分數或百分率來表示「相對次數」、「累積相對次數」。
o 例: 中山國中三年一班的數學科第一次段考成績總表,如下表:

表1、三年一班數學成績表
座號 1 2 3 4 5 6 7 8
成績 5 64 35 78 36 43 44 82
座號 9 10 11 12 13 14 15 16
成績 83 48 52 55 58 64 65 68
座號 17 18 19 20 21 22 23 24
成績 69 70 74 35 80 80 80 45
座號 25 26 27 28 29 30
成績 47 33 84 84 85 89

這一班的數學教師,林老師,想了解成績分佈情形,她會把成績整理成如下的頻率表,又稱次數表或人數表。


表2、三年一班各組成績次數表
0-20 21-40 41-60 61-80 81-100 全班
1 4 8 11 6 30

如果想了解各組成績的相對次數,林老師可以製作如下的相對次數表:

表3、三年一班各組成績相對次數表
0-20 21-40 41-60 61-80 81-100 全班
0.03 0.13 0.27 0.37 0.20 1.00

這樣,林老師知道有將近一半的學生成績不及格。其實,她也可以再整理成下列的累積次數表及累積相對次數表:

表4、三年一班各組成績累計次數表
0-20 21-40 41-60 61-80 81-100 全班
1 5 13 24 30 30

表5、三年一班各組成績累計相對次數表
0-20 21-40 41-60 61-80 81-100 全班
0.03 0.16 0.43 0.80 1.00 1.00


林老師有更多的資訊來了解班上成績的分佈情形,例如:全班有13位,或43%的同學數學需要再加強。
o 統計學中,條形圖分為長條圖、直方圖兩大類。長條圖適合用於表現離散的資料,因此各長條以適當的距離間隔來表現資料的離散性;直方圖則適合用於表現連續的資料,因此各長條間並無間隔,且資料應依序排列。
o 國中階段統計的教學宜以有序且具連續性的資料為主,統計圖形則以直方圖、或折線圖為主,如圖1的次數圖即以直方圖的樣式來呈現。
o 「相對次數圖」是將次數圖(如圖1)之次數改為相對次數,而「累積相對次數圖」則是將相對次數改為相對累積次數。
o 上述諸圖之製作皆依各組之順序在橫軸上標示其位置,再依各組的次數、相對次數或累積相對次數,來製作直方圖。各圖形亦可以折線圖表示,僅需在各組標出中點,又稱組中距,再將各點順序相連即可。

圖1、三年一班各組成績次數圖

圖2、三年一班各組成績累計次數圖

圖3、三年一班各組成績相對次數圖

圖4、三年一班各組成績累計相對次數圖

o 製作以上各圖時,組距被強迫設定20;一般而言,組距的大小是以(最大值-最小值)÷(組數)來訂定,因而次數表與次數圖變成表6與圖5。這種不同的表現方示是被允許的,因為重點只在於表達分布的情況,不可能有「最佳」表達法。

表6、三年一班各組成績次數表
5-21 22-38 39-55 56-72 73-89 全班
1 4 7 7 11 30


圖5、三年一班各組成績次數圖

9-d-02 能理解百分位數的概念,認識第10、25、50、75、90百分位數,並製作盒狀圖。 D-4-01
說明: o 百分位數是各組的相對位置,表示有百分之多少比此數要小。因此百分位數即是這個或這組數累積相對次數對應的分數。
o 百分位數中較重要的是第10、25、50、75及90 百分位數。由於資料個數的因素,不一定能在資料中非常明確的找到這幾個百分位數的對應資料點。從統計學的觀點,可以其百分位數前後最接近的相鄰兩組資料平均值來代表該百分位數。如例1,第10、25、50、75及90 百分位數分別為35、44.5、64.5、80及84,其中第25、50及75百分位數皆以上述方法取平均值後而得出的。教學上,應讓學生在進行資料整理過程中了解此特質。
o 可利用較重要的百分位數來製作盒狀圖。如例1,我們若取第25、50及75 百分位數,和最大數89、最小數5,可以作成如圖6的盒狀圖。

圖6、三年一班成績盒狀圖


9-d-03 能利用較理想化的資料說明常見的百分位數,來認識一筆或一組資料在所有資料中的位置。 D-4-01
說明: o 我們可利用資料的累計百分率,或累計相對次數,以折線圖的樣式來製作累計百分率圖,如圖7。
o 想了解某個百分位數所對應的資料位置,我們可由累計百分率圖縱軸上百分位數的位置作一條水平線使其與累計百分率曲線相交,再由此交點作一條鉛直線與橫軸相交,這個交點即為其所對應的資料位置。


圖7、三年一班成績累計百分率圖

9-d-04 能認識平均數、中位數與眾數均可以某種程度地表示整筆資料集中的位置。 D-4-02
說明: o 平均數是指所有數的總和除以總次數;中位數是指第50百分位數,這組數通常表示比它大和比它小的資料各佔一半;眾數是次數最高的一個或一組數。以三年一班數學成績為例,平均數為61.8,中位數為64,眾數為80。

9-d-05 能認識平均數、中位數與眾數在不同狀況下,被使用的需求度有些微的差異。 D-4-02
說明: o 平均數、中位數會使落在兩邊的資料呈現出某種「平衡」狀態。平均數是量的平衡,中位數則是個數的平衡,而眾數是落在出現次數最高的位置,與平均數、中位數有差別。平均數對於資料中有特別大或特別小的數特別敏感,中位數則不受影響。以 { 1, 2, 3, 4, 5 } 和 { 1, 2, 3, 4, 500 } 兩組資料為例,第一組的平均數、中位數均相同,但第二組的中位數不變,平均數則為102,而以三年一班數學成績為例,平均數和中位數很接近。

9-d-06 能認識全距,並理解全距大小的意義。 D-4-03
說明: o 全距是最大數與最小數的差,全距大通常表示資料較疏散,全距小則是指資料較集中。以三年一班數學成績為例,最大數與最小數分別為89、5,而全距為84。

9-d-07 能認識第1、2、3四分位數,及四分位距。 D-4-03
說明: o 第25、50、75百分位數也分別被稱為第1、第2、第3四分位數,可記為Q1、Q2、Q3,而且第2四分位數又常被稱為中位數;四分位距則為第3四分位數與第1四分位數的差,即Q3-Q1。以三年一班數學成績為例,Q1、Q2、Q3分別為44.5、64、80,則四分位距為35.5,且由圖6我們很容易指出Q1、Q2、Q3的位置。

9-d-08 能理解當存在少數特別大或特別小的資料時,四分位距比全距適合來描述整組資料的分散程度。 D-4-03
說明: o 我們可由四分位距和全距間的差異性來描述整組資料的分散程度。以三年一班數學成績為例,由圖6的盒狀圖我們很容易看出資料集中在Q1 到 Q3 附近。我們也可以盒狀圖,如圖10,來分析幾組資料間的關係。
o 能引導學生使用電腦軟體,如具電子試算表或基本計算功能的程式語言,處理較大筆資料的計算,也可以附加的繪圖功能來製作統計圖形;也可引導學生使用電算器,處理數量不太多的資料(如例1)的統計量。
o 在處理量大且人工不易完成計算,或具重複性的資料時,可嘗試使用電腦軟體來計算相關的統計量,如:平均數、中位數、眾數、百分位數、四分位數及四分位距等,藉以了解這些統計量在統計實驗中顯示的意義。


圖8

9-d-09 能以具體情境介紹機率的概念。 D-4-05
說明: o 可使用實物,如骰子、抽球、撲克牌等,來做實驗,或以樹狀圖分析所有可能發生的情形,來理解某些情形發生的機會,以認識機率的概念。
o 例:請10位同學輪流丟一顆骰子,每人丟6次,並記錄每次出現的號碼。實驗完成後統計每個號碼出現的次數,看看每個號碼出現的相對次數是否接近1/6,且所有相對次數的總和為1。如果不夠接近,多找幾位同學加入,再觀察實驗結果。
o 例:教師請一位同學同時丟二顆骰子,問這位同學所丟骰子的號碼相同的機會是多少?
o 例:教師將裝有10顆球的袋子(其中有2顆紅球8顆黃球),展示於學生面前,學生已經知道共有10顆球且分成2種顏色,但不知道各有幾顆,讓每位同學抽1顆球,並統計全班抽到紅球、黃球的次數各有幾次,做成分類表或長條圖,觀察結果,看看之間的比例,用此比例來猜猜袋中紅球與黃球的比例,再以此比例猜猜袋中的10顆球中有幾顆紅球、幾顆黃球?


9-d-10 能進行簡單的實驗以了解抽樣的不確定性、隨機性質等初步概念。 D-4-05
說明: o 初步資料的收集(丟骰子、抽球等實驗)可以利用課餘進行。在生活中進行簡單的實驗,以了解機率的初步概念。
o 例:本活動的目的在於,讓學生在抽樣實驗中,經驗樣本被抽到的機會一樣多的可能。實驗活動為:10個已編號的乒乓球,每人抽3個,抽完後統計每個乒乓球被抽到的次數,將結果繪製成長條圖,看看每個乒乓球被抽到的機會是不是一樣多?
o 例:理想中每一個樣本出現的機會一樣多,本活動的目的在於,讓學生在抽樣實驗中,經驗樣本出現的機會一樣多的可能。實驗活動為:每個人丟骰子5次,統計各種點數出現的次數,將結果繪製成長條圖,讓學生觀察長條圖,看看各點出現的次數是不是一樣多?


附錄三 「連結」能力指標之詮釋

察 覺
C-R-01 能察覺生活中與數學相關的情境。
說明: o 例:要到阿里山旅行,知道查看火車及客運時刻表。

C-R-02 能察覺數學與其他領域之間有所連結。
說明: o 例:知道城市中的地址設置有某些數學式的想法。

C-R-03 能了解其他領域中所用到的數學知識與方法。
說明: o 例:能了解理化中以代數的等式表示壓力、體積與氣溫之間的關係。

C-R-04 能察覺數學與人類文化活動相關。
說明: o 例:各民族帶狀裝飾的設計往往具有對稱的性質。

轉 換
C-T-01 能把情境中與問題相關的數、量、形析出。
說明: o 例:規劃到阿里山的旅程,先要弄清楚到嘉義的火車要花多少時間,嘉義到阿里山的小火車、客運的時刻表以及在阿里山上的行程等。

C-T-02 能把情境中數、量、形之關係以數學語言表出。
說明: o 例:Eratosthenes 測量地球的大小,知道夏至時太陽直射B城,而在A城則成七度半的斜射,又測得B城在A城的正南方5000單位長的地方,轉成幾何語言則如下圖所示:

C-T-03 能把情境中與數學相關的資料資訊化。
說明: o 例:想了解班上同學體重之分布,將同學的體重列成有序之長條圖。


C-T-04 能把待解的問題轉化成數學的問題。
說明: o 承C-T-02的例子,地球大小可用一周長表示,所以周長有多大就是轉化後的數學問題。

解 題
C-S-01 能分解複雜的問題為一系列的子題。
說明: o 例:班上為了去墾丁做三天兩夜的旅遊而做規劃:1.估計往返交通時間、休息時間及遊玩時間;2.排定交通工具、遊玩路線及作息時間;3.估算交通、住宿、餐飲及其他費用;4.決定每人分攤之費用。


C-S-02 能選擇使用合適的數學表徵。
說明: o 例:班上有40位同學,此次組隊登山,共有25位參加。登山隊長賦予每位同學一個號碼,1至25。每到一個休息地,就請隊員依序報號,從1報到25。只要沒間斷就表示全員到齊。隊長當然也可以要同學用學號的最後兩數字作代表,但會有跳號,用起來不方便。

C-S-03 能熟悉解題的各種歷程:蒐集、觀察、臆測、檢驗、推演、驗證、論證等。
說明: o 例:台北市地址的單雙號設置是否有規劃?
* 蒐 集: 自家門牌、友人地址、台北市地圖等。
* 觀 察: 街路的側巷看成街路上的住戶,其巷數與街路門牌號數連成一體,所以可用單雙號巷數來區別街路的哪一邊為單號或雙號。
* 臆 測: 以號碼小往號碼大的方向為準,街路的左側為單號、右側為雙號。
* 檢 驗: 上述的臆測很多地方是對的,但南京西路就例外了。似乎所有的西路都剛好相反。
* 再臆測: 街路東西向者,單號在街路的北側,雙號在街路的南側。
* 再檢驗: 仔細察看地圖果然沒錯。
* 推 演: 既然東西向的街路有這樣的規劃,南北向的也應該類似。
* 論 證: 我家在南北向的街路上,是雙號,在西側。所以原則應是:南北向的單號在東側,雙號在西側。
* 驗 證: 仔細察看,無論是南路還是北路,都遵守這樣的規則。


C-S-04 能運用解題的各種方法:分類、歸納、演繹、推理、推論、類比、分析、變形、一般化、特殊化、模型化、系統化、監控等。
說明: o 推理(在充分的理由之下而做了結論):例,Cameron測量了Nyangwe鎮的標高,知道比尼羅河中游的城鎮Gondokoro 要低,所以推理得知Nyangwe所在的Lualaba河不是尼羅河的上游(探險家Livingstone的假設)。
o 推論(理由雖不充分,但已有某些把握,而做了暫時的結論):例,哥倫布航行大西洋多日後,發現鳥群在附近飛過,還有樹枝在附近漂流,於是認為就要遇到陸地了(因為大致說來,鳥群不會遠離陸地飛行,樹枝不會遠離陸地漂流)。
o 類比(情形A與B類似,借用B的結果,推論A的結果):例,公式,譬如 ,我們可以構造一個梯形使得「上底」= 4,「下底」= 10,「高」 ,「所以」和(=「面積」)為 。 o 變形(改變表徵方式):例,一地標目擊者說是在此偏東30a,約200公尺遠,則看地圖可能要說成往東100公尺,再往北170公尺。
o 一般化:例,百貨公司打七折,則先打折後計5%的稅比較便宜,還是先計5%的稅後打折?以原價1000元為例,兩種算法相等:
(1000×70%)×1.05 = 735、(1000×1.05)×70% = 735。
可一般化,以x表任何原價,結果仍然相等:
(x×70%)×1.05 = (x×1.05)×70%。
可把打折幅度一般化,稅率也一般化,而得
(x×y)×z = (x×z)×y。
o 特殊化:例,某診所從外頭買進濃度95%的酒精,要加純水配成濃度70%的酒精來使用。如果需要70%酒精100c.c.,則要用95%酒精多少c.c.?答案為:
100×70%÷95% = 73.68。
但73.68c.c.不好用量杯準確量得;如果不在意70%酒精剛好100c.c.,只要適量就好,則可以一般化,暫以x表之,而答案就變成了
x×70% ÷ 95% = 。
若取特殊值x=95,則答案為70c.c.,很容易量得準(也可以取x=190等)。
o 模型化:例,一社區有很好的游泳池,但需要一筆維護費。使用者(按使用次數)付費呢?還是擁有者(按土地坪數)付費呢?如果爭執不下,可用線性模型來化解,依以下公式各付部分費用:
x用+y有
x, y為參數,由社區討論後決定為某特殊值: ; 。
o 系統化:平面座標、道路門牌、能力指標編碼等。
o 監控(防範解題出錯的一些機制):如用代數方法解問題時,應排除不符合題意的解(如長度、面積應為正)。

C-S-05 能了解一數學問題可有不同的解法,並嘗試不同的解法。
說明: o 例:解聯立方程式2x + 4y = 72,x + y = 30,可用正統的代數解法,把x = 30 – y代入第一個式子。另一種是猜答的方法(試誤法):若y = 10、x = 20,則2x + 4y = 80比 72 多 8,那麼真正的y要比猜答的少 4 ( y 每少 1,x 就多 1,2x + 4y就少2),即y = 10 –4 = 6、x = 20 + 4 = 24。

C-S-06 能用電算器或電腦處理大數目或大量數字的計算。
說明: o 當學生在解決問題時,可以將其中大量重複及耗時的計算交給電腦或電算器來處理。


溝 通
C-C-01 能了解數學語言(符號、用語、圖表、非形式化演繹等)的內涵。
說明: o 語言是用來溝通數學內容用的,要溝通當然要了解該語言的內涵。

C-C-02 能了解數學語言與一般語言的異同。
說明: o 一般語言的含意比較籠統,其指涉對象的範圍大。數學語言明確,其指涉對象局限在能夠模型化的問題。
C-C-03 能用一般語言與數學語言說明情境與問題。
說明: o 對於數學概念或問題,應鼓勵學童能用數學語言與一般語言來表達或說明。
C-C-04 能用數學的觀點推測及說明解答的屬性。
說明: o 例:88學年度大學聯招因某些試場監考的疏失,有98名考生試後加分,採增額分發錄取方式。到底有多少考生屬增額錄取的?因為全體錄取率為 60 %,而這 98 名考生屬於一般的高中(並不特殊),所以估計約為60(≒ 98×60 %)名。


C-C-05 能用數學語言呈現解題的過程。
說明: o 指標中的「呈現」指的是用數學語言,用文字就解題的嚴謹方面所做的溝通。


C-C-06 能用一般語言及數學語言說明解題的過程。
說明: o 指標中的「說明」是偏向口頭的,注重解題過程方面的溝通。

C-C-07 能用回應情境、設想特例、估計或不同角度等方式說明或反駁解答的合理性。
說明: o 例:回應情境與估計:承C-C-04的例子,如果分發結果只有 40 名為增額錄取,顯然
解答的合理性值得懷疑;如果有 64 名,與估計的 60 名相近,則為合理的數目。
設想特例:定理「圓周角為同弧圓心角之半」中的圓周角其實有無窮多個,明顯的特例就是把此圓心角的一個半徑邊延長而得的一個圓周角。由此特例,上述「圓周角為同弧圓心角之半」的定理比較容易理解。而通例的證明透過這個特例也可以獲得證明。
不同角度:例,1 + 2 + … + 99 + 100等於多少?考慮100 + 99 + …+ 2 + 1,其和一樣。兩式對應項相加都得 101,而共有 100 對,所以兩式和為 101×100 = 10100,除以 2,就得一式之和為5050。


C-C-08 能尊重他人解決數學問題的多元想法。
說明: o 不同的解法固然有快慢的差別,但無論是哪種解法,只要是自己想的或自己能表達出來的,都是數學思考的一種訓練,都會有收穫。

C-C-09 能回應情境共同決定數學模型中的一些待定參數。
說明: o 見C-S-04中模型化的例子。

評 析
C-E-01 能用解題的結果闡釋原來的情境問題。
說明: o 例:底下那一序對的數字可能為某個三角形的三邊長:
(A) (1,2,3) (B) (1,1,3) (C) (1,2,2)
答案為C,是利用三角形任二邊和大於第三邊。

C-E-02 能由解題的結果重新審視情境,提出新的觀點或問題。
說明:
o 承C-E-01的例子,三角形任二邊的和大於第三邊得自於兩點最短的路徑是直線。

C-E-03 能經闡釋及審視情境,重新評估原來的轉化是否得宜,並做必要的調整。
說明: o C-E-01的例子,原問題轉化成三角形任二邊和大於第三邊的應用,是很適當。

C-E-04 能評析解法的優缺點。
說明: o 承C-E-01的例子,檢驗一個三角形的邊可由三個不等式來決定。一個幾何問題可轉由簡單的不等式來檢驗,比較容易。

C-E-05 能將問題與解題一般化。
說明: o 承C-E-02的例子,可推廣為在一些限制條件下,求從點A到點B的最短路徑(或時間)。例如折射定律。
附錄四 度量衡列表
本綱要所使用各量的常用單位,係依據經濟部標準檢驗局於中華民國九十二年六月十三日,經標字第09204608060號公告修正之「法定度量衡單位及其所用之倍數、分數之名稱、定義及代號」,相關資訊可參考網址http://www.bsmi.gov.tw/upload/b04/public/files/metrologyunit.doc。

類別 單位 說明
長度 公尺(m,又稱米)、公分(cm,厘米之俗稱)、公里(km,千米之俗稱)、毫米(mm) 1公里=1000公尺,1公尺=100公分,1公分=10毫米
重量 公斤(kg,又稱千克)、公克(g,簡稱克)、公噸(t) 1公噸=1000公斤,1公斤=1000公克
容量 公升(l或L)、毫公升(ml,cc,簡稱毫升) 1公升=1000毫公升
角度 度 一圓周為360度
面積 平方公尺(m2)、平方公分(cm2),平方公里(km2),公畝,公頃 1公頃=100公畝,1公畝=100平方公尺,1平方公里=106平方公尺,1平方公尺=104平方公分
體積 立方公尺(m3),立方公分(cm3) 1立方公尺=106立方公分,1立方公尺=1000公升
時間 日(d)、時(h)、分(min)、秒(s) 1日=24時,1時=60分,1分=60秒



附錄五 標準用詞與解釋
一、 標準用詞表
年級 數與量 幾何 代數 統計與機率
數與計算 量與實測
一年級 ˙1、2、3、4、5、6、7、8、9、0
˙個位、十位
+、加號、加法、被加數、加數、和
˙-、減號、減法、被減數、減數、差
˙=、等號、等於
˙橫式、直式
˙多、少、大、小
˙幾個一數 ˙上午、中午、下午、昨天、今天、明天、幾月幾日星期幾、幾點鐘、幾點半
˙長度、長、短
˙直線、曲線 ˙三角形、正方形、長方形、圓形
˙前、後、左、右、上、下、遠、近
二年級 ˙百位
˙<、小於、>、大於
˙×、乘號、乘法、被乘數、乘數、積、倍、九九乘法
˙一半;幾分之一
˙年、月、日、星期
˙時、分、幾點(時)幾分
˙公分、公尺、(直)尺
˙輕、重
˙正方體、長方體
˙頂點、角、邊、平面
˙邊長、正三角形
˙垂直、平行
˙算式填充題
三年級 ˙千位
˙÷、除號、除法、被除數、除數、商、餘數、整除
˙偶數(雙數)、奇數(單數)
˙分數、分母、分子、幾分之幾
˙小數、小數點、十分位
˙數線 ˙秒、日
˙毫米
˙公升、毫公升(毫升)
˙公斤、公克
˙平方公分
˙面積 ˙內部、外部、周界、周長
˙圓心、圓周、半徑、直徑
四年級 ˙萬、億、兆
˙概數、四捨五入
˙真分數、假分數、帶分數、等值分數
˙百分位、千分位、小數點以下幾位 ˙公里
˙角度、度、量角器
˙平方公尺
˙長、寬(長方形)
˙立方公分
˙體積 ˙直角、三角板
˙等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、平行四邊形、菱形、梯形
˙旋轉、順時針、逆時針
˙全等 ˙括號 ˙橫軸、縱軸、長條圖、折線圖
˙圓形圖
五年級 ˙因數、倍數、公因數、公倍數
˙約分、擴分、通分
˙比率、%、百分率、幾折

˙公噸
˙公畝、公頃、平方公里
˙立方公尺
˙容積、容量
˙高(長方體、三角形等)、底(上底、下底) ˙圓心角、扇形
˙線對稱 ˙未知數

六年級 ˙質數、合數、質因數、最大公因數、最小公倍數、互質
˙最簡分數
P ˙比、比值、正比 ˙圓周率
˙底面積
˙速度、距離、時間
˙直圓柱、直角柱、直圓錐
˙放大、縮小、比例尺

七年級 ˙負數、絕對值、底數、指數、指數律
˙反比、比例式、連比、連比例 ˙微米、奈米 ˙變量、變數
˙大於等於、小於等於
˙一元一次方程式、一元一次不等式、二元一次方程式、二元一次聯立方程式
˙自變數、應變數、函數、一次函數、線型函數、函數圖形
˙等量公理、移項法則、代入消去法、加減消去法
八年級 ˙二次方根、平方根、二次方根最簡式
˙十分逼近法
˙二次方根化簡、根式有理化
˙數列、公差、首項、第n項、等差中項、等差數列、等差級數 ˙ 弦、弧、弓形
˙尺規作圖、角平分線、線段中點、中垂線、垂足、垂直平分線
˙互補、互餘、補角、餘角、平角
˙外角、內角
˙截線、內錯角、同位角、同側內角
˙銳角、鈍角、銳角三角形、鈍角三角形、正幾邊形
˙頂角、底角、對邊、鄰邊、斜邊
˙勾股定理
˙三角形全等性質
˙平行線截線性質
˙對頂角
˙表面積 ˙乘法公式、和差平方、平方和、平方差、分配律
˙乘式
˙多項式、項數、係數、常數項、最高次項、升冪、降冪
˙長除法、分離係數法
˙因式、倍式、公因式、因式分解、分組分解
˙一元二次方程式、解、根
˙十字交乘法、配方法、判別式、公式解
九年級 ˙相似形
˙三角形相似性質
˙平行線截比例線段性質
˙圓周角、弦心距、切線、公切線、弦切角
˙外接圓、內切圓
˙三中線、外心、內心、重心
˙幾何推理 ˙二次函數
˙最大值、最小值
˙拋物線、開口向上、開口向下、頂點坐標、對稱軸 ˙次數、相對次數、累積次數、累積相對次數、百分位數、四分位數
˙平均數、中位數、眾數
˙次數圖、直方圖、盒狀圖
˙全距、四分位距
˙機會、機率、抽樣、隨機性質

二、標準名詞解釋
數與量
十進位 阿拉伯數字系統所採用「逢十進一」的進位方式,進位後每個數字的位值皆有不同的大小和稱呼,若擴張到小數,則尚有小數點右側之位數。如354.17是3×100+5×10+4+1×110+7×1100,3是百位,5是十位,4是個位,1是十分位,7是百分位。
等號 兩運算式(數)之值相等,可以’=’記之,唸為【等於】,如4+3=7。
大於、小於 甲大於4,可以記為 甲>4,或4<甲,前者唸為 甲大於4,後者唸為 4小於甲。
大於等於、小於等於 甲大於4或者可能等於4,可記為 甲≧4,和甲不小於4同義。也可記為4≦甲,即為4小於或等於甲。
加 4+3=7,4為被加數,3為加數,7為和。
減 4-3=1,4為被減數,3為減數,1為差。
乘 4×3=12,4為被乘數,3為乘數,12為積。
除 14÷4=3…2,14為被除數,4為除數,3為商,2為餘數。當餘數為0時,稱為整除,如12÷4=3。
正整數 正整數1、2、3…等為人類用來數物的數,可稱為計物數,又稱自然數。
非負整數 正整數和0合稱為非負整數,即整數包含正整數、0、負整數。
偶數 個位數為0,2,4,6,8的整數稱為偶數,又稱雙數。
奇數 個位數為1,3,5,7,9的整數稱為奇數,又稱單數。
負整數 -1、-2、-3…等是正整數前多了負號,稱為負整數。
整數 正整數、0和負整數合稱為整數。
絕對值 若a≧0,則定義 |a|=a,唸為a的絕對值等於a,如|7|=7;若a<0,則定義 |a| =-a,如 |-7|=-(-7)=7。
分數 能化為 q p 的型態,且p、q皆為整數者其中p≠0,稱為分數;p稱為分母,q稱為分子;若0<q < p時, q p 稱為真分數;否則, q p 稱為假分數;形如 的分數,則稱為帶分數。有理數 即分數,有些分數可以小數表示。
最簡分數 一分數經化簡後(合併符號、約分),若分子與分母的絕對值互質,此分數稱為最簡分數。
等值分數 一分數分子、分母同乘一整數,所得的分數稱為原分數的擴分;一分數分子、分母同除一公因數,所得的分數稱為原分數之約分;一分數擴分或約分後所得的分數,其值和原分數相同,稱為等值分數。
同號數 兩數性質符號相同者稱之,如:-3和-10;否則稱異號。
因數、倍數 一不為零的整數甲若能整除另一整數乙,甲稱為乙的因數,乙稱為甲的倍數。國小階段祇學習正因數、正倍數,國中階段則引進負因數、負倍數的學習。
公因數、最大公因數 一整數甲同為兩個以上整數的因數時,則甲為這些數的公因數。公因數中最大者即稱為最大公因數,最大公因數一定為正整數。
公倍數、最小公倍數 一整數乙為兩個以上的整數的倍數時,乙稱為這些數的公倍數。在所有正公倍數中最小者稱為最小公倍數。
質數 一大於1的正整數只有1及本身兩個正因數時,稱為質數。
合數 又稱合成數,大於1的正整數中不是質數者稱之。
互質 兩正整數除1外無其他公因數者稱為兩數互質。
質因數 是質數又是某數的因數,稱為某數的質因數。
短除法 判別一數或一數以上的因數時只寫出除數和商,並不詳細運算除法過程,如
2 12
2 6
3

其計算型態為短除法。若除數皆為質數,其過程即稱為質因數分解。
標準分解式 一正整數作質因數分解時將質因數由小至大以連乘式表之,質因數相同者用指數形式簡記,如:12=2×2×3=22×3(或22.3)。
平方 一數自乘兩次,稱為平方。如5×5=25,25稱為5的平方。
二次方根 若b為非負數,b則稱為b的二次方根,簡稱平方根。平方根 a 2=b,b≧0,則a為b的平方根,如22=4,(-2)2=4, 2、-2皆為4的平方根,其中2為正平方根,-2為負平方根,合記為bb。 概數 一數之估計值稱為概數。如某市人口的概數為3千萬等。
四捨五入 概數(近似值)的取法之一。若一數指定位數之下一位值小於5,則將指定位數之下的數皆記為0(捨去);若大於等於5,則在該指定位數加1,並將以下所有數皆記為0(進入),稱為四捨五入。例如:325587在千位四捨五入得326000;3.1416在百分位四捨五入得3.14。
十分逼近法 為估計一數值(如 ),先找出此數值位於那兩連續的整數之間,並視實際需要,可在兩數的十等分點再找出連續的兩點作逼近估計,依此類推當可求出我們所想知道此數的近似值。
比 兩數量以「:」區隔並據以呈現兩量之大小關係稱為比,如:兩人體重比為56:43,披薩個數與價錢之比為2:600。
比值 由比的相等關係,導引出比之前項除以後項,其值不變,,稱為比值,如3:4的比值為 3 4 或0.75。百分率 將一純小數乘上100後附加%記號,稱為百分率,如0.23=23%。
正比(變) 兩變量x及y,若可寫成關係式y = kx,k為常數(一固定數),則稱x,y成正比。
反比(變) 兩非0變量x及y,若可寫成關係式xy=k,k為非0常數,則稱x,y成反比。
等差數列 一數列任意相鄰兩項的差(後項減前項)皆相等,稱為等差數列,其差稱為公差,第一項稱為首項,最後一項稱為末項。
等差中項 若三數成一等差數列,中間項稱為等差中項。
等差級數 將等差數列每一項以加號連接求和,稱為等差級數。


幾何

角 共同端點的兩射線所成的角。
銳角 角度小於90度的角稱為銳角。
鈍角 角度大於90度的角稱為鈍角。
直角 角度等於90度的角稱為直角。
平角 180度的角稱為平角。
周角 360度的角稱為周角。
順時針、逆時針 順著時針轉動方向移動稱為順時針,反之稱為逆時針。
互補 兩角度數和為180度。
互餘 兩角度數和為90度。
對頂角 兩直線相交而成不相鄰的兩角。兩對頂角相等。
銳角三角形 三個內角皆為銳角的三角形。
鈍角三角形 有一個內角為鈍角的三角形。
直角三角形 有一個內角為直角的三角形。
等腰三角形 有兩邊相等的三角形。此相等的兩邊稱為腰。
等腰三角形的頂角 相等兩邊的夾角;若頂角為直角則稱為等腰直角三角形。
等腰三角形的底角 等腰三角形頂角以外的兩個角;此三角形的兩底角相等。
直角三角形的股 直角三角形斜邊以外的兩邊稱為股。
勾股定理 直角三角形斜邊平方等於兩股平方和,又稱商高定理或畢氏定理。
平行四邊形 兩雙對邊互相平行的四邊形。
菱形 四邊等長的四邊形。
梯形 只有一組對邊(稱為上底與下底)平行的四邊形。非上底與下底的兩邊,稱為梯形的腰。
等腰梯形 兩腰等長的梯形。
梯形中線 梯形兩腰中點連線。
長方形 四個角均為直角的四邊形,又稱矩形。
正方形 四個角均為直角且四邊等長的四邊形。
多面體 由多邊形的面所圍成的立體圖形稱為多面體。
多邊形對角線 多邊形內一頂點和一不相鄰頂點的連線段。
多邊形內角 多邊形內由一頂點和兩夾邊所連成的角。
多邊形外角 若一內角小於180度時,由此角一邊向頂點外側所做的角。若一內角大於180度時,不定義外角。
三角形外角定理 三角形一外角等於不相鄰兩內角和。
外角和定理 凸多邊形外角和360度。
內角和定理 n邊形內角和=(n-2)×180度。
垂直 兩直線交角90度稱兩直線互相垂直。
垂足 兩垂直線的交點。
平行 平面上兩直線沒有交點,稱此兩直線互相平行。
周長 一圖形周界之長度。
尺規作圖 利用直尺(沒有刻度)、圓規繪製幾何圖形稱為尺規作圖。
互相平分 兩線段互相分成一半。
中點 線段上一點到兩端點等距離,稱該點為此線段的中點。
垂直平分線 過一線段中點且垂直的線稱為此線段的垂直平分線。
互相垂直平分 兩線段互為垂直平分線段。
中垂線 過一線段中點且垂直的線稱為中垂線,又稱垂直平分線。
角平分線 將一角分成兩相等角的線稱為角平分線,又稱分角線。
線對稱 兩圖形以一直線為鏡射圖形的現象,稱為線對稱。
對稱軸 兩圖形以一直線為鏡射圖形的現象中稱此直線為對稱軸。
對稱點 線對稱圖形之相對應點,稱為對稱點。
對稱線 線對稱圖形之相對應線段,稱為對稱線。
對稱角 線對稱圖形之相對應角,稱為對稱角。
全等 兩圖形可完全疊合,稱兩圖形全等。
三角形SSS性質 兩三角形的三對應邊相等,則此兩三角形全等。
三角形SAS性質 兩三角形的兩邊與它們的夾角對應相等,則此兩三角形全等。
三角形ASA性質 兩三角形的兩角與它們的夾邊對應相等,則此兩三角形全等。
三角形AAS性質 兩三角形的兩角與其中一個角的對應邊對應相等,則此兩三角形全等。
三角形RHS性質 兩直角三角形的斜邊和一股對應相等,則此兩三角形全等。
截線
在同一平面上,直線L分別與直線M、N相交於不同兩點,L叫做M與N的截線。
L
1 2
M 3 4
5 6
N 7 8

同位角 上圖中, ∠1和∠5,∠2和∠6,∠3和∠7,∠4和∠8 分別稱為同位角。
同側內角 上圖中 ,∠3和∠5,∠4和∠6分別稱為同側內角。
內錯角 上圖中 ,∠3和∠6,∠4和∠5分別稱為內錯角。
比例線段 當四個線段中,兩個線段的比等於另兩個線段的比時,此四個線段稱為比例線段。
對應邊成比例 對應邊長的比值相同。
相似形 兩個平面圖形,經過放大縮小後兩個圖形全等。
三角形AAA相似性質 兩三角形三個對應角分別相等(或稱AA相似性質),則此兩三角形相似。
三角形SAS相似性質 兩三角形一對應角相等且此角之兩個夾邊長成比例,則此兩三角形相似。
三角形SSS相似性質 兩三角形三個對應邊成比例,則此兩三角形相似。
三角形中線 三角形一頂點和對邊中點的相連線段。
切線 平面上一直線和一圓只有一個交點稱此線為圓的一條切線。
圓 平面上和一固定點等距離的所有點形成的圖形稱為圓。
此「固定點」稱為圓心;此「距離」稱為半徑;此「圖形」稱為圓周;圓周上兩點最長的距離稱為直徑。
圓的弦 圓周上任兩相異點的相連線段。
弦心距 圓心到弦的距離。
公切線 同時和兩圓相切的直線。
圓周率 圓周長與直徑之比值成為圓周率,常用的近似值為3.14。
圓的弧 圓周的一段。
弓形 由一弦和一弧所圍的圖形。
扇形 圓的兩半徑和一弧所圍成的圖形。
圓心角 以圓心為頂點兩半徑為邊所組成的角。
圓周角 圓上一點和此點所作之兩弦形成的角。
弦切角 由過圓上同一點的弦和切線所夾的角。
圓內接多邊形 圓周上相異點所連成的多邊形。
圓內角 若 、 為圓的兩弦且其相交於E,則∠AEC稱為一圓內角。 圓外角 若 、 為圓的兩割線或切線,則∠APB稱為一圓外角。外接圓 過一多邊形所有頂點的圓,稱此圓為多邊形的外接圓。
內切圓 多邊形內部中,與各邊相切的圓,稱為多邊形的內切圓。
三角形外心 三角形外接圓圓心,即三角形三條中垂線的交點。
三角形內心 三角形內切圓圓心,即三角形三條角平分線的交點。
三角形重心 三角形三條中線的交點。
球 空間上到一固定點等距離的所有點所成的曲面。
正四面體 四面均為正三角形的四面體,亦稱正三角錐。
正方體 六面均為正方形的正四角柱體。
長方體 六面均為方形的正四角柱體。
直圓柱體 上下底為兩等圓的正柱體。
直圓錐 由一扇形和圓組合而成的圖形。
直柱體體積 底面積×高。
表面積 一圖形的所有面的面積總和。

代 數

變數 以文字符號(甲、乙、 、 、…)表示量時,具有不定數和未知數的雙重意義,若代表可變化的量稱為變數。
未知數 以文字符號列成方程式時,符號即具有未知數的意義。
等量公理 當等號左右兩邊相等時,於等號兩邊各加、減、乘或除以同一個數(不可同時除以0),等號兩邊仍會維持相等。
移項規則 在等式或不等式中,將一個數從等號的一邊移到另一邊應遵守:(1)移加作減;(2)移減作加;(3)移乘作除;(4)移除作乘等規則。
在不等式中,若將「負」的乘數或除數移至另一邊時,不等號需轉向,例:若-3x<6,則x>6÷(-3),即x>-2 。函數、自變數與應變數 以數學式描述兩個變數的關係時,通常兩個變數以符號x及y表示後,當x的值確定時,y的值也隨著唯一確定,也就是說,若對於任意給定一個x值,都恰有一個y值與之對應,這種對應關係稱為y是x的函數;其中x是自變數,y是應變數。
線型函數 在直角座標中圖形為直線的函數,稱為線型函數。
多項式 由數和文字符號進行加法和乘法運算所構成的算式,稱為多項式。
例: 。多項式中的未知數 不在分母、根號、絕對值符號內,如: 皆不為多項式。係數 多項式中,變數以外的部分連同其前面的加減符號合稱為係數。
例: ,二次項的係數為 , 一次項的係數為 ,零次(常數)項的係數為 。常數項 多項式中,不含變數的項稱為多項式的常數項。
多項式的次數 多項式中,係數不為0的最高次項的次數稱為多項式的次數。
一元一次式 只含一種變數,且變數的次方是為一次的數學式。
例如: (一元一次多項式),
(一元一次方程式),
< (一元一次不等式)。二元一次式 含有二種變數,且變數的次數均為一次的數學式。
一元二次式 只含一種變數且變數的最高次方為二次的數學式。
升冪排列 將多項式的各項,依其變數的次方由小而大的排列。例如: 將 寫成 。降冪排列 將多項式的各項,依其變數的次方由大而小的排列。例如: 將 寫成 。分離係數法 兩多項式的四則運算中,只寫出各項係數,待運算結束後,再將結果以多項式的形式呈現。
解 滿足等式或不等式的數,稱為解。
根 多項式方程式的解稱為根。
判別式 一元二次方程式 的判別式,常以 代表,依判別式的數值為正或負或零可以判斷根的性質。

統計與機率

次數 各筆或各組資料出現或發生的「次數」、「人數」等。
相對次數 各筆或各組資料出現或發生的次數除以全部次數的總和。
有序資料 因數量、時間、位置等有序變化而產生對應的資料。
累積次數 有序資料中依出現或發生的秩序(如:由小至大)累加至各筆或各組的次數。
累積相對次數 有序資料中依出現或發生的秩序(如:由小至大)累加至各筆或各組的相對次數。
百分位數 各筆或各組資料的相對位置,表示有百分之多少的資料比該筆或該組資料的數要小。
平均數 所有資料的總和除以總次數,即所有資料的平均值。
中位數 第50百分位數,通常表示比這筆或這組數大和比這筆或這組數小的資料各佔一半。
眾數 出現次數最高的一個或一組數。
全距 資料中最大數與最小數的差。
四分位數 第25、50、75百分位數也分別被稱為第1、第2、第3四分位數,第2四分位數又常被稱為中位數。
四分位距 第3四分位數與第1四分位數的差。
機率 一個事件會發生的機會;機率常以百分率或分數來表示。
統計圖 能表現統計資料的圖形。
橫軸、縱軸 統計圖中水平、鉛直方向的軸線。
長條圖 以長條狀圖形高度或長度代表資料量的統計圖形,又稱bar chart,其中各長條間並不相連接。
折線圖 以直線連接相鄰兩資料點的圖形。
圓形圖 以圓內各扇形面積代表資料統計量的圖形,又稱pie chart。
直方圖 以長條狀圖形高度代表資料量的統計圖形,又稱histogram,其中各相鄰長條間彼此相連接。
盒狀圖 以盒狀圖形表現最大數、最小數、第1、第2、第3四分位數位置的圖形,又稱box chart。



附錄六 指標與細目專詞釋義

認識、理解、熟練、報讀
本次綱要修訂,指標以數學內涵為主體,簡明扼要為目標。因此看似與認知有關的三個名詞─「認識」、「理解」與「熟練」─其實只是描述學習可能的不同階段。「認識」強調的是觀察、個例、經驗、歸納的學習初期階段,「理解」強調的是概念形成、練習、驗證、推廣的中期階段,「熟練」則在於形式與解題程序之流暢。「認識」與「理解」在具體情境中進行,「理解」與「熟練」在抽象情境中進行。「理解」本身則在具體與抽象情境間來回練習。如果一個數學概念在一個階段或一個學年中可完成,指標以較成熟的學習階段來描述。因此如果指標只有「理解」沒有「認識」,則表示「認識」與「理解」必須在同一階段或學年度完成。「統計與機率」主題中,「報讀」是指「將統計圖表上所看到資料直接讀出來」。

次要細目
這是國小綱要為了銜接國中幾何與代數課程,而設置的前置經驗細目(格式如6-a-03*)。教師與教科書編者可依時間是否充裕,做彈性處理。

檢查細目
國小的代數課題,通常都包含於數與量的教學中,本次綱要修訂為了強調某些比較代數面向的課題,必須出現在教學或教科書,因此設置檢查細目作為提示提醒之用。例如學生應該熟悉乘法交換律,來協助一般之心算、筆算與驗算,因此必須在數與量教學時,熟悉此事實。檢查細目不應另立單元來教學,本次綱要修訂並不強調這些細目─例如:交換律─的抽象形式面,在教學與課本中也不應該出現如交換律這樣的專有名詞。。

具體情境
學生在解題、理解數學概念或規律時,經常需要先有恰當的範例、應用來提示與引導,這些情境我們都稱之為具體情境(對應於「認識」與「理解」)。在小學的中低年級,具體情境有相當多部分與生活有關,因此並不與生活情境做區分。但隨著學生熟習表徵(例如:乘法的排列模型)或較抽象的思考(例如:數字感),學生學習數學時,所依賴的具體情境,就不見得是生活情境。例如學生在五、六年級學因數、倍數或質數課題時,最恰當的具體情境,就是學生對整數性質的熟悉,而不是日常生活的問題。又例如六年級的等量公理,應該是基於小學六年數與量計算經驗的自然經驗總結,不應該再使用天平、砝碼之類的生活情境。

情境
學生在解題、理解數學概念或規律時,經常需要置身在某經驗脈絡中,讓自己過去或其他的經驗,可以用來協助學習。綱要中常用到的情境,一種泛指這些經驗的脈絡特徵,例如:生活情境、具體情境。另一種則指某核心類型的學習經驗,例如:平分情境、測量情境。