(一)基本理念
(二)課程目標
(三)分段能力指標
(四)分段能力指標與十大基本能力之關係
(五)實施要點
(六)附錄


(一)基本理念

  在社會變遷的背景中,終身學習的社會是我們教育發展的願景。終身學習社會中,國民的特質是知道如何學且樂於學;國民教育的重點應為國民奠立學習如何學、樂於學的基礎。
我們周遭的自然與社會環境中,到處可見數與形,而各種數與形都有一些規律;數學探討的就是這些規律。透過數學,我們觀察到很多自然與社會的現象,並瞭解這些現象形成的原因,因而為人類增添了不少文化資產。數學一直是國民教育的核心課程,過去一直如此,未來也不會改變。
九年一貫課程總目標強調的是能力的開拓,是要為國民的終身學習奠下基礎,以因應社會的變遷,這有別於僅是知識的傳授。並且這不但沒減低數學的重要性,反而能使數學課程顧及技術層面外,更重視與其他領域的連結,更強調解決問題,以及與他人溝通講理等各種能力的培養,這些能力就是幫學生發展如何學與樂於學的基礎。
現今是訊息豐富的社會,透過數與形的訊息,才能認識環境。國民需要培養分析資料、形成臆測、驗證與判斷的能力,以提升生活品質,改善生活環境,進而養成關懷環境、尊重自然的情操。數學探究是培養這些能力的有效學習活動。
我們社會發展的趨勢是民主的、多元的。民主社會中,國民要有理性與溝通的素養;多元社會中,國民的特質是開放與尊重。數學的討論過程是多元開放的,是理性的。激勵多樣性的獨立思維方式,尊重各種不同的合理觀點,分享各別族群的生活數學以及欣賞不同文化的數學發展,是數學課的精神指標。利用數學語言進行溝通,明確有效,讓數字講話,有根有據,所以數學是理性溝通的重要工具。數學教育對於培養國民的民主素養,以及開放與理性的人格特質具有積極的功效。
數學與生活息息相關,數學視野與技術的基本素養也是終身學習的利器,數學教育可以幫助學生知道如何學且樂於學,而能立足於未來的社會中。

 

 

(二)課程目標

九年一貫的數學課程期望學生達成下列目標:
1. 掌握數、量、形的概念與關係。
2. 培養日常所需的數學素養。
3. 發展形成數學問題與解決數學問題的能力。
4. 發展以數學作為明確表達、理性溝通工具的能力。
5. 培養數學的批判分析能力。
6. 培養欣賞數學的能力。
為了達成這些目標,數學課程的發展應以生活為中心,配合各階段學生的身心與思考型態的發展歷程,提供適合學生能力與興趣的學習方式,據以發展數學學習活動。數學學習活動應讓所有學生都能積極參與討論,激盪各種想法,激發創造力,明確表達想法,強化合理判斷的思維與理性溝通的能力,期在社會互動的過程中建立數學知識。

 

 

(三)分段能力指標

<編號說明>數學領域根據學生的學習方式與思考型態兩項特徵,將九年國民教育區分為四階段:階段一(1-3?年級)、階段二(4-5?年級)、階段三(6-7年級)和階段四(8-9?年級)。另將數學內容分為數與量、圖形與空間、統計與機率、代數、連結等五大主題。
前四項主題的分段能力指標以三碼編碼,其中第一碼表示主題,分別以字母N、S、D、A表示「數與量」、「圖形與空間」、「統計與機率」和「代數」四個主題;第二碼表示階段,分別以1, 2, 3, 4表示第一、二、三和四階段;第三碼則是能力指標的流水號,表示該細項下指標的個數。
除了上述四個主題外,數學領域還有連結這一主題。數學內部的連結可貫穿前四個主題,強調的是解題能力的培養,數學外部的連結則強調生活及其他領域中數學問題的察覺、轉化、解題、溝通、評析諸能力的培養。具備這些能力,一方面增進學生在日常生活方面的數學素養,能廣泛應用數學,提高生活品質,另一方面也能加強其數學式的思維,有助於個人在生涯中求進一步的發展。
連結的能力指標不再分段,各階段四個主題的能力要與連結的能力相配合培養,而連結的能力經過各階段後會愈來愈強。連結的能力指標用三碼表示,第一碼表連結(C),第二碼表察覺(R)、轉化(T)、解題(S)、溝通(C)、評析(E),而第三碼則是流水號。
以下分別就五大主題與四個階段為主,條列數學領域之能力指標,而條列第三階段的能力指標時,以虛線做為區隔六、七年級能力指標的建議。

1. 五大主題的能力指標
數與量
本主題又分為「數與計算」、「量與實測」和「關係」三個子主題。

◎數與計算


N-1-1

能初步掌握非負整數數詞序列的規律,並能以具體的量、聲音、圖像、數字,進行說、讀、聽、寫、做的活動,表徵2000以內的數。

N-1-2

能掌握10、100、1000和1及100和10之間的關係,做數的二階單位化聚。

N-1-3

能理解加法、減法的意義,解決生活中有關三位數以內的加、減法問題,並運用電算器加以檢驗。

N-1-4

能透過累加活動連接倍的語言,理解乘法的意義並解決生活中簡單(積≦100)的整數倍問題(例如:單位數≦12,單位量≦15)。

N-1-5

能用具體分的活動,理解除法意義並解決生活中有關除法的問題。

N-1-6

能在生活情境中,經驗概數的意義。

N-1-7

在等分好、整體1能明顯出現之具體生活情境中(包含連續量、離散量),能以真分數(分母在20以內)描述內容物為單一個物的幾份,並能延伸真分數的意義,進行同分母真分數的合成、分解活動(和<1)。

N-1-8

在一個整體1被明確十等分的具體生活情境中(包含離散量、連續量),能以一位小數描述其中的幾分,並能進行一位小數的合成、分解活動(和及被減數<1)。

 

 

N-2-1

能延伸非負整數的認識到十萬並認識位值概念,進而理解0代表空位的意義。

N-2-2

延伸加、減、乘、除 與情境的意義,使能適用來解決更多的生活情境問題,並能用計算器械處理大數的計算。

N-2-3

能理解加、減的直式算則。

N-2-4

能用四捨五入、進位、捨去等方式對一個數量取概數,並利用概數作簡單的估算。

N-2-5

在等分好、整體1能明顯出現之具體情境中,能以真分數來描述單位分數內容物為多個個物的幾份,進行同分母真分數的合成、分解活動,並理解等值分數的意義。

N-2-6

在具體情境中,能以假分數或帶分數描述具體的量,並能解決分數的合成、分解以及簡單整數倍的問題。

N-2-7

能以二位小數描述具體的量,並解決二位小數的合成、分解及簡單整數倍問題。

 

 

N-3-1

能延伸非負整數的認識。

N-3-2

能嘗試理解乘、除的直式算則。

N-3-3

在具體情境中,理解通分的意義並運用通分解決異分母分數的合成、分解問題。

N-3-4

在具體情境中,解決分數乘以分數的問題,進而形成分數倍的概念。

N-3-5

能延伸小數的認識到三位以上(小數),並解決生活中與小數有關的加、減、乘、除問題。

N-3-6

在具體情境中,能用分數、小數表示除的結果(除的結果為有限小數)。

N-3-7

能用分數倍的概念,整合以分數為除數的包含除和等分除的運算格式。

N-3-8

能用近似值描述具體的量,並說出誤差。

 

 

N-4-1

能掌握命數系統,並以科學符號表示一個數。

◎量與實測


N-1-9

能透過感官活動感覺一個量,並能對兩個同類量作直接比較,進而對一個量作複製活動(量:長度、容量、重量、角度、面積、體積)。

N-1-10

能使用生活中常用的測量工具(刻度尺的方式,即不涉及其結構),以一階普遍單位描述一個量(量:長度、容量、重量、角度、面積、體積;普遍單位:米、厘米、分公升、千克、克、度、平方厘米、立方厘米)。

N-1-11

能區分幾個事件發生的先後順序。

N-1-12

能報讀鐘面上的幾點、幾點半以及數字鐘上的時刻,以便溝通。

N-1-13

能透過查月曆報讀幾月幾日星期幾,並知道一年有12個月及各月之日數。

N-2-8

能報讀(鐘面上的)時刻以及點算兩時刻間的時間;能理解24時制並應用在生活中。

N-2-9

能在保留概念形成後,進行兩個同類量的間接比較(利用完整複製)及個別單位的比較(利用等量合成的複製)(量:長度、容量、重量、角度、面積、體積)。

N-2-10

能認識各種量的普遍單位,應用在生活中的實測和估測活動,並培養出量感(普遍單位:千米、毫米、公升、毫公升、時、分、秒)。

N-2-11

能理解生活中,各種量的測量工具上刻度間的結構,進而對以同單位表達的量作形式計算。

N-2-12

能知道同類量中二階單位之間的關係及使用二階單位作描述,並利用此關係作整數化聚。

N-2-13

能以個別單位的方式(利用等物合成複製後)描述面積、體積,並能用乘法簡化長方形面積、長方體體積之點算。

 

 

N-3-9

能理解同類量中不同單位間的關係,並作化聚活動(可以有分數、小數)。

N-3-10

認識生活中使用的大的測量單位,如:千公斤(公噸)、千公升(公秉)、百平方米(公畝)、千平方米(公頃)。

N-3-11

能以切割後,重新拼湊組合的方式(幾何部份要配合),將平行四邊形、三角形和梯形,變形成長方形而計算其面積,形成面積之計算公式。

N-3-12

能對非直線形的平面區域,選定適當的正方形單位,估計其概略面積,並檢驗圓面積公式(π<*,r為圓的半徑)。

N-3-13

能理解容量和容積(體積)之間的關係,並利用此關係計算大容器(如 游泳池)之容量。

N-3-14

能將各種柱體,變形成長方柱而計算其體積,形成柱體之體積計算公式。

◎關係


N-1-14

在情境中理解加法和減法的相互關係及加法交換律。

N-1-15

能用不同的想法,檢驗答案的合理性。

N-1-16

能透過感官活動感覺一個物體運動的快慢。

 

 

N-2-14

能在情境中,理解乘法交換律、等號的對稱性、「<、=、>」的遞移性、加法和乘法的結合律與分配律,以及乘法和除法的相互關係。

N-2-15

能用不同的想法,檢驗答案的合理性。

N-2-16

能知道先乘除後加減的約定,並能用來列式及簡化計算式子。

N-2-17

能察覺簡單數列之規律。

N-2-18

能用時間的長短,描述一物體在固定距離內的運動速率;能用距離,描述一物體在固定時間內的運動速率。

N-2-19

能利用等分好的線段上,做出一條簡單的整數數線,並能進一步延伸至簡單的分數和小數的數線。

 

 

N-3-15

能在情境中理解比、比例(包括正比例和反比例)、比值、率(百分率、ppm)的意義。

N-3-16

能用平均速率的概念描述一個物體運動的狀態,並認識速率的普遍單位米/秒、千米/時等,應用在生活中。

N-3-17

能掌握米/秒和千米/時之間的關係,並利用此關係作化聚。

N-3-18

能察覺整數的因數、倍數、公因數、公倍數。

N-3-19

能察覺梯形、三角形、長方形、平行四邊形等面積公式之間的關係。

N-3-20

能察覺整數的最大公因數、最小公倍數、質數和合數,並能將一個數做質因數分解。

N-3-21

能在情境中理解等量公理。

圖形與空間


S-1-1

能由形體的外觀辨認出某一形體。

S-1-2

能依據二維、三維基本形體的外觀做簡單分類。

S-1-3

能複製二維、三維的基本形體。

S-1-4

能使用非標準或標準的名稱描述基本形體。

S-1-5

能察覺在生活情境或形體中的角。

S-1-6

能運用上下、左右、前後、內外等方位語詞描述兩物的相對位置。

S-1-7

能透過實際操作認識鉛垂線與水平線、水平面。

S-1-8

能辨認周遭物體中的直線、平面。

S-1-9

能辨認平面圖形的內部、外部及其輪廓線(周界)。

S-1-10

能透過具體操作判斷某些簡單圖形可作無空隙的平面舖設或立體堆疊(面積、體積)。

S-2-1

就給定的幾何形體,能確認並說出組成要素的名稱,並在檢驗後適當地描述其要素間的關係。

S-2-2

能依基本形體的組成要素之間的關係比較兩形體的異同。

S-2-3

能透過實測察覺形體的性質。

S-2-4

能運用東西南北的語詞描述位置及方向。

S-2-5

能瞭解兩鉛垂直線及兩水平直線互相平行。

S-2-6

能瞭解張開程度、旋轉程度和角的關係。

S-2-7

能辨認平面圖形上的線對稱關係。

 

 

S-3-1

能使用形體的性質描述某一類形體。

S-3-2

能指出合於所予性質的形體。

S-3-3

從一類形體的特性中,指出那些性質也適用於另一類形體。

S-3-4

能利用構成要素間的可能關係,描述複合形體要素間的可能關係。

S-3-5

能利用形體的性質解決幾何問題。

S-3-6

能運用直角坐標系及方位距離來標定位置。

S-3-7

能瞭解平面上兩直線互相平行、垂直的概念。

S-3-8

能瞭解平面圖形線對稱的意義。

S-3-9

能辨識基本圖形間對應邊長成比例時的形狀關係。

S-3-10

能透過實測辨識三角形、四邊形、圓的性質。

S-3-11

能操作圖形之間的轉換組合。

 

 

S-4-1

能根據給定的性質作局部推理。

S-4-2

能非形式地辨識敘述及其逆敘述間的不同。

S-4-3

能以最少性質辨認刻畫一個圖形並瞭解定義的意義。

S-4-4

能根據性質瞭解某些圖形間的包含關係。

S-4-5

能瞭解垂直、平行的定義。

S-4-6

能利用垂直平分的概念檢驗對稱軸。

S-4-7

能辨別檢驗兩圖形是否相似。

S-4-8

能運用相似三角形的性質進行簡易測量。

S-4-9

能根據直尺、圓規操作過程的敘述,完成尺規作圖。

 

 

統計與機率


D-1-1

能將資料做分類與整理,並說明其理由。

D-1-2

能報讀生活中常見的一維表格。

D-2-1

能報讀生活中分類資料的統計圖表。

D-2-2

能將分類資料整理成長條圖,並抽取長條圖中有意義的資訊加以解讀。

D-2-3

能解讀長條圖的各種變形。

D-2-4

能解讀現成資料之長條圖。

D-2-5

能報讀生活中常見的二維表格。

 

 

D-3-1

能利用統計量,例如:平均數、中位數等,來瞭解資料集中的位置。

D-3-2

能嘗試使用電腦軟體處理大筆資料的統計量計算,並加以應用。

D-3-3

能運用生活經驗來瞭解機會。

D-3-4

能報讀生活中有序資料的統計圖表。

D-3-5

能將有序資料整理成折線圖,並抽取折線圖中有意義的資訊加以解讀。

D-3-6

能解讀各式各樣的折線圖。

D-3-7

能利用比值和百分率的概念,報讀相關的統計圖表。

 

 

D-4-1

能利用統計量,例如:百分位數,來瞭解資料散佈的情形。

D-4-2

能將資料整理成圓形百分圖,並抽取圓形百分圖中有意義的資訊,加以解讀。

D-4-3

能進行簡單的實驗,以瞭解機率、抽樣的初步概念。

D-4-4

能嘗試使用電腦軟體進行實驗,以瞭解機率、抽樣的意義。

D-4-5

能解讀現成資料之折線圖、圓形百分圖、及與百分位數有關的統計圖表。

D-4-6

能自訂主題,蒐集資料,利用統計圖表抽取與主題有關的資訊。

代數


A-1-1

能透過具體操作,解決來自生活情境問題中已列出的算式填充題。

 

 

A-2-1

能將生活情境中簡單問題表徵為含有△、□、甲、乙、?、…等的式子,並能解釋式子與原問題情境的關係。

A-2-2

能透過具體表徵,解決從生活情境問題中列出的算式填充題。

A-2-3

能透過具體觀察及探索,察覺簡易數量模式,並能描述模式的一些特性。

A-2-4

能使用中文簡記式(簡字式)描述長方形、長方體之長度、面積、體積等幾何量。

 

 

A-3-1

能用xy、…的式子表徵生活情境中的未知量及變量。

A-3-2

能將生活情境中的問題表徵為含有xy、…的等式或不等式,透過生活經驗檢驗、判斷其解,並能解釋式子及解與原問題情境的關係。

A-3-3

能利用數的合成分解或逆向思考解決從生活情境中列出的等式。

A-3-4

能比較生活情境中數量關係的異同及其表徵式的異同與使用時機。

A-3-5

能察覺簡易數量模式與數量模式之間的關係。

A-3-6

能瞭解幾何量的各種表徵模式。

A-3-7

能察覺數量模式與數量模式之間的關係。

A-3-8

能做分數的四則運算。

A-3-9

能瞭解幾何量不同表徵模式之間的關係。

A-3-10

能瞭解幾何圖形及形體變動時,其幾何量對應變動情形。

A-3-11

能以「正、負」表徵生活中相對的量,並能操作負整數的合成分解。

 

 

A-4-1

能利用等量公理解從生活情境問題中列出的一元一次方程式。

A-4-2

能解從生活情境問題中列出的二元一次聯立方程式。

A-4-3

能檢驗、判斷不等式的解並描述其意義。

A-4-4

能利用一次式解決生活情境中的問題。

A-4-5

能畫出形如y=ax+b的坐標平面圖形。

A-4-6

能做正負數的四則運算。

A-4-7

能認識平方根以及用電算器看出其近似值。

A-4-8

能使用乘法公式。

A-4-9

能認識商高定理及其生活中的應用。

A-4-10

能認識、欣賞生活中或其他學科領域常用的公式。

A-4-11

能利用配方法或十字交乘法解一元二次方程式。

A-4-12

觀察生活週遭或其他學科領域中的數學,認識數學的用途與數學思維的特性。

連結
◎察覺


C-R-1

能察覺生活中與數學相關的情境。

C-R-2

能察覺數學與其他領域之間有所連結。

C-R-3

能瞭解其他領域中所用到的數學知識與方法。

C-R-4

能察覺數學與人類文化活動相關。

 

◎轉化


C-T-1

能把情境中與問題相關的數量形析出。

C-T-2

能把情境中數量形之關係以數學語言表出。

C-T-3

能把情境中與數學相關的資料資訊化。

C-T-4

能把待解的問題轉化成數學的問題。

◎解題


C-S-1

能分解複雜的問題為一系列的子題。

C-S-2

能選擇使用合適的數學表徵。

C-S-3

能熟悉解題的各種歷程:蒐集、觀察、臆測、檢驗、推演、驗證、論證等。

C-S-4

能運用解題的各種方法:分類、歸納、演繹、推理、推論、類比、分析、變形、一般化、特殊化、模型化、系統化、監控等。

C-S-5

瞭解一數學問題可有不同的解法,並能嘗試不同的解法。

C-S-6

能用電算器或電腦處理大數目或大量數字的計算。

? ◎溝通


C-C-1

瞭解數學語言(符號、用語、圖表、非形式化演繹等)的內涵。

C-C-2

瞭解數學語言與一般語言的異同。

C-C-3

能用一般語言與數學語言說明情境與問題。

C-C-4

用數學的觀點推測及說明解答的屬性。

C-C-5

用數學語言呈現解題的過程。

C-C-6

用一般語言及數學語言說明解題的過程。

C-C-7

用回應情境、設想特例、估計或不同角度等方式說明或反駁解答的合理性。

C-C-8

能尊重他人解決數學問題的多元想法。

C-C-9

能回應情境共同決定數學模型中的一些待定參數。

? ◎評析


C-E-1

能用解題的結果闡釋原來的情境問題。

C-E-2

能由解題的結果重新審視情境,提出新的觀點或問題。

C-E-3

經闡釋及審視情境,能重新評估原來的轉化是否得宜,並做必要的調整。

C-E-4

能評析解法的優缺點。

C-E-5

能將問題與解題一般化。

2. 各階段的能力指標
第一階段:具體操作;視覺(1-3年級)


N-1-1

能初步掌握非負整數數詞序列的規律,並能以具體的量、聲音、圖像、數字,進行說、讀、聽、寫、做的活動,表徵2000以內的數。

N-1-2

能掌握10、100、1000和1及100和10之間的關係,做數的二階單位化聚。

N-1-3

能理解加法、減法的意義,解決生活中有關三位數以內的加、減法問題,並運用電算器加以檢驗。

N-1-4

能透過累加活動連接倍的語言,理解乘法的意義並解決生活中簡單(積≦100)的整數倍問題(例如:單位數≦12,單位量≦15)。

N-1-5

能用具體分的活動,理解除法意義並解決生活中有關除法的問題。

N-1-6

能在生活情境中,經驗概數的意義。

N-1-7

在等分好、整體1能明顯出現之具體生活情境中(包含連續量、離散量),能以真分數(分母在20以內)描述內容物為單一個物的幾份,並能延伸真分數的意義,進行同分母真分數的合成、分解活動(和<1)。

N-1-8

在一個整體1被明確十等分的具體生活情境中(包含離散量、連續量),能以一位小數描述其中的幾分,並能進行一位小數的合成、分解活動(和及被減數<1)。

N-1-9

能透過感官活動感覺一個量,並能對兩個同類量作直接比較,進而對一個量作複製活動(量:長度、容量、重量、角度、面積、體積)。

N-1-10

能使用生活中常用的測量工具(刻度尺的方式,即不涉及其結構),以一階普遍單位描述一個量(量:長度、容量、重量、角度、面積、體積;普遍單位:米、厘米、分公升、千克、克、度、平方厘米、立方厘米)。

N-1-11

能區分幾個事件發生的先後順序。

N-1-12

能報讀鐘面上的幾點、幾點半以及數字鐘上的時刻,以便溝通。

N-1-13

能透過查月曆報讀幾月幾日星期幾,並知道一年有12個月及各月之日數。

N-1-14

在情境中理解加法和減法的相互關係及加法交換律。

N-1-15

能用不同的想法,檢驗答案的合理性。

N-1-16

能透過感官活動感覺一個物體運動的快慢。

S-1-1

能由形體的外觀辨認出某一形體。

S-1-2

能依據二維、三維基本形體的外觀做簡單分類。

S-1-3

能複製二維、三維的基本形體。

S-1-4

能使用非標準或標準的名稱描述基本形體。

S-1-5

能察覺在生活情境或形體中的角。

S-1-6

能運用上下、左右、前後、內外等方位語詞描述兩物的相對位置。

S-1-7

能透過實際操作認識鉛垂線與水平線、水平面。

S-1-8

能辨認周遭物體中的直線、平面。

S-1-9

能辨認平面圖形的內部、外部及其輪廓線(周界)。

S-1-10

能透過具體操作判斷某些簡單圖形可作無空隙的平面舖設或立體堆疊(面積、體積)。

 

 

D-1-1

能將資料做分類與整理,並說明其理由。

D-1-2

能報讀生活中常見的一維表格。

 

 

A-1-1

能透過具體操作,解決來自生活情境問題中已列出的算式填充題。

第二階段:具體表徵;察覺樣式(4-5年級)


N-2-1

能延伸非負整數的認識到十萬並認識位值概念,進而理解0代表空位的意義。

N-2-2

延伸加、減、乘、除 與情境的意義,使能適用來解決更多的生活情境問題,並能用計算器械處理大數的計算。

N-2-3

能理解加、減的直式算則。

N-2-4

能用四捨五入、進位、捨去等方式對一個數量取概數,並利用概數作簡單的估算。

N-2-5

在等分好、整體1能明顯出現之具體情境中,能以真分數來描述單位分數內容物為多個個物的幾份,進行同分母真分數的合成、分解活動,並理解等值分數的意義。

N-2-6

在具體情境中,能以假分數或帶分數描述具體的量,並能解決分數的合成、分解以及簡單整數倍的問題。

N-2-7

能以二位小數描述具體的量,並解決二位小數的合成、分解及簡單整數倍問題。

N-2-8

能報讀(鐘面上的)時刻以及點算兩時刻間的時間;能理解24時制並應用在生活中。

N-2-9

能在保留概念形成後,進行兩個同類量的間接比較(利用完整複製)及個別單位的比較(利用等量合成的複製)(量:長度、容量、重量、角度、面積、體積)。

N-2-10

能認識各種量的普遍單位,應用在生活中的實測和估測活動,並培養出量感(普遍單位:千米、毫米、公升、毫公升、時、分、秒)。

N-2-11

能理解生活中,各種量的測量工具上刻度間的結構,進而對以同單位表達的量作形式計算。

N-2-12

能知道同類量中二階單位之間的關係及使用二階單位作描述,並利用此關係作整數化聚。

N-2-13

能以個別單位的方式(利用等物合成複製後)描述面積、體積,並能用乘法簡化長方形面積、長方體體積之點算。

N-2-14

能在情境中,理解乘法交換律、等號的對稱性、「<、=、>」的遞移性、加法和乘法的結合律與分配律,以及乘法和除法的相互關係。

N-2-15

能用不同的想法,檢驗答案的合理性。

N-2-16

能知道先乘除後加減的約定,並能用來列式及簡化計算式子。

N-2-17

能察覺簡單數列之規律。

N-2-18

能用時間的長短,描述一物體在固定距離內的運動速率;能用距離,描述一物體在固定時間內的運動速率。

N-2-19

能利用等分好的線段上,做出一條簡單的整數數線,並能進一步延伸至簡單的分數和小數的數線。

 

 

S-2-1

就給定的幾何形體,能確認並說出組成要素的名稱,並在檢驗後適當地描述其要素間的關係。

S-2-2

能依基本形體的組成要素之間的關係比較兩形體的異同。

S-2-3

能透過實測察覺形體的性質。

S-2-4

能運用東西南北的語詞描述位置及方向。

S-2-5

能瞭解兩鉛垂直線及兩水平直線互相平行。

S-2-6

能瞭解張開程度、旋轉程度和角的關係。

S-2-7

能辨認平面圖形上的線對稱關係。

 

 

D-2-1

能報讀生活中分類資料的統計圖表。

D-2-2

能將分類資料整理成長條圖,並抽取長條圖中有意義的資訊加以解讀。

D-2-3

能解讀長條圖的各種變形。

D-2-4

能解讀現成資料之長條圖。

D-2-5

能報讀生活中常見的二維表格。

 

 

A-2-1

能將生活情境中簡單問題表徵為含有△、□、甲、乙、?、…等的式子,並能解釋式子與原問題情境的關係。

A-2-2

能透過具體表徵,解決從生活情境問題中列出的算式填充題。

A-2-3

能透過具體觀察及探索,察覺簡易數量模式,並能描述模式的一些特性。

A-2-4

能使用中文簡記式(簡字式)描述長方形、長方體之長度、面積、體積等幾何量。

第三階段:類化具體表徵;辨識樣式間的關係(6-7年級)
六年級


N-3-1

能延伸非負整數的認識。

N-3-2

能嘗試理解乘、除的直式算則。

N-3-3

在具體情境中,理解通分的意義並運用通分解決異分母分數的合成、分解問題。

N-3-4

在具體情境中,解決分數乘以分數的問題,進而形成分數倍的概念。

N-3-5

能延伸小數的認識到三位以上(小數),並解決生活中與小數有關的加、減、乘、除問題。

N-3-6

在具體情境中,能用分數、小數表示除的結果(除的結果為有限小數)。

N-3-9

能理解同類量中不同單位間的關係,並作化聚活動(可以有分數、小數)。

N-3-10

認識生活中使用的大的測量單位,如:千公斤(公噸)、千公升(公秉)、百平方米(公畝)、千平方米(公頃)。

N-3-11

能以切割後,重新拼湊組合的方式(幾何部份要配合),將平行四邊形、三角形和梯形,變形成長方形而計算其面積,形成面積之計算公式。

N-3-12

能對非直線形的平面區域,選定適當的正方形單位,估計其概略面積,並檢驗圓面積公式(π<*,r為圓的半徑)。

N-3-15

能在情境中理解比、比例(包括正比例和反比例)、比值、率(百分率、ppm)的意義。

N-3-16

能用平均速率的概念描述一個物體運動的狀態,並認識速率的普遍單位米/秒、千米/時等,應用在生活中。

N-3-17

能掌握米/秒和千米/時之間的關係,並利用此關係作化聚。

N-3-18

能察覺整數的因數、倍數、公因數、公倍數。

N-3-19

能察覺梯形、三角形、長方形、平行四邊形等面積公式之間的關係。

S-3-1

能使用形體的性質描述某一類形體。

S-3-2

能指出合於所予性質的形體。

S-3-3

從一類形體的特性中,指出那些性質也適用於另一類形體。

S-3-4

能利用構成要素間的可能關係,描述複合形體要素間的可能關係。

S-3-5

能利用形體的性質解決幾何問題。

S-3-6

能運用直角坐標系及方位距離來標定位置。

S-3-7

能瞭解平面上兩直線互相平行、垂直的概念。

 

 

D-3-1

能利用統計量,例如:平均數、中位數等,來瞭解資料集中的位置。

D-3-2

能嘗試使用電腦軟體處理大筆資料的統計量計算,並加以應用。

D-3-3

能運用生活經驗來瞭解機會。

 

 

A-3-1

能用xy、…的式子表徵生活情境中的未知量及變量。

A-3-2

能將生活情境中的問題表徵為含有x、y、…的等式或不等式,透過生活經驗檢驗、判斷其解,並能解釋式子及解與原問題情境的關係。

A-3-3

能利用數的合成分解或逆向思考解決從生活情境中列出的等式。

A-3-4

能比較生活情境中數量關係的異同及其表徵式的異同與使用時機。

A-3-5

能察覺簡易數量模式與數量模式之間的關係。

A-3-6

能瞭解幾何量的各種表徵模式。

七年級


N-3-7

能用分數倍的概念,整合以分數為除數的包含除和等分除的運算格式。

N-3-8

能用近似值描述具體的量,並說出誤差。

N-3-13

能理解容量和容積(體積)之間的關係,並利用此關係計算大容器(如 游泳池)之容量。

N-3-14

能將各種柱體,變形成長方柱而計算其體積,形成柱體之體積計算公式。

N-3-20

能察覺整數的最大公因數、最小公倍數、質數和合數,並能將一個數做質因數分解。

N-3-21

能在情境中理解等量公理。

 

 

S-3-8

能瞭解平面圖形線對稱的意義。

S-3-9

能辨識基本圖形間對應邊長成比例時的形狀關係。

S-3-10

能透過實測辨識三角形、四邊形、圓的性質。

S-3-11

能操作圖形之間的轉換組合。

 

 

D-3-4

能報讀生活中有序資料的統計圖表。

D-3-5

能將有序資料整理成折線圖,並抽取折線圖中有意義的資訊加以解讀。

D-3-6

能解讀各式各樣的折線圖。

D-3-7

能利用比值和百分率的概念,報讀相關的統計圖表。

 

 

A-3-7

能察覺數量模式與數量模式之間的關係。

A-3-8

能做分數的四則運算。

A-3-9

能瞭解幾何量不同表徵模式之間的關係。

A-3-10

能瞭解幾何圖形及形體變動時,其幾何量對應變動情形。

A-3-11

能以「正、負」表徵生活中相對的量,並能操作負整數的合成分解。

第四階段:符號表徵;非形式化演繹(8-9年級)


N-4-1

能掌握命數系統,並以科學符號表示一個數。

 

 

S-4-1

能根據給定的性質作局部推理。

S-4-2

能非形式地辨識敘述及其逆敘述間的不同。

S-4-3

能以最少性質辨認刻畫一個圖形並瞭解定義的意義。

S-4-4

能根據性質瞭解某些圖形間的包含關係。

S-4-5

能瞭解垂直、平行的定義。

S-4-6

能利用垂直平分的概念檢驗對稱軸。

S-4-7

能辨別檢驗兩圖形是否相似

S-4-8

能運用相似三角形的性質進行簡易測量

S-4-9

能根據直尺、圓規操作過程的敘述,完成尺規作圖

 

 

D-4-1

能利用統計量,例如:百分位數,來瞭解資料散佈的情形。

D-4-2

能將資料整理成圓形百分圖,並抽取圓形百分圖中有意義的資訊,加以解讀。

D-4-3

能進行簡單的實驗,以瞭解機率、抽樣的初步概念。

D-4-4

能嘗試使用電腦軟體進行實驗,以瞭解機率、抽樣的意義。

D-4-5

能解讀現成資料之折線圖、圓形百分圖、及與百分位數有關的統計圖表

D-4-6

能自訂主題,蒐集資料,利用統計圖表抽取與主題有關的資訊。

 

 

A-4-1

能利用等量公理解從生活情境問題中列出的一元一次方程式。

A-4-2

能解從生活情境問題中列出的二元一次聯立方程式。

A-4-3

能檢驗、判斷不等式的解並描述其意義。

A-4-4

能利用一次式解決生活情境中的問題。

A-4-5

能畫出形如y?=?ax?+?b的坐標平面圖形。

A-4-6

能做正負數的四則運算。

A-4-7

能認識平方根以及用電算器看出其近似值。

A-4-8

能使用乘法公式。

A-4-9

能認識商高定理及其生活中的應用。

A-4-10

能認識、欣賞生活中或其他學科領域常用的公式。

A-4-11

能利用配方法或十字交乘法解一元二次方程式。

A-4-12

觀察生活週遭或其他學科領域中的數學,認識數學的用途與數學思維的特性。

 


(四)能力指標與十大基本能力的關係

基 本 能 力

能 力 指 標

一、瞭解自我與發展潛能

•瞭解自己在數量或形上的能力及思考型態的傾向
•挑戰並增加自我的數學能力

二、欣賞、表現與創新

•以數學眼光欣賞各領域中的規律
•領會數學本身的美
•以數學有組織、有效地表現想法

三、生涯規劃與終身學習

•具有終身學習所需的數學基本知識
•養成凡事都能嘗試用數學的觀點或方法來切入的習慣

四、表達、溝通與分享

•結合一般語言與數學語言說明情境及問題
•從數學的觀點推測及說明解答的屬性及合理性
•與他人分享思考歷程與成果

五、尊重、關懷與團隊合作

•互相幫助解決問題
•尊重同儕解決數學問題的多元想法
•關懷同儕的數學學習

六、文化學習與國際瞭解

•連結數學發展與人類文化活動間的互動
•與其他領域(語言、社會、自然、藝能、電腦、邏輯、環境)連結

七、規劃、組織與實踐

•組織數學材料
•以數學觀念組織材料
•以數學語言與數學思維作系統規劃

八、運用科技與資訊

•將各領域與數學相關的資料資訊化
•用電腦處理數學中潛在無窮類型的問題

九、主動探索與研究

•形成問題、蒐集、觀察、實驗、分類、歸納、類比、分析、轉化、臆測、推論、推理、監控、確認、反駁、特殊化、一般化

十、獨立思考與解決問題

•進行數學式思維
•以數形量的概念與方法探討並解決問題


 

 

(五)實施要點
此章節包含了有關於「80%學生能夠學會」、「學習階段」、「電腦與電算器」、「教學」和「評量」等五部份的說明。

1. 80%學生能夠學會
本領域的課程規劃期望:
提供80%以上的學生,對課程綱要內每個階段的學習內容,都具有學習能力;對課程綱要內每個階段的學習活動,都具有學習機會。也就是讓每一階段的學生都能進行有意義的學習。
然而,回顧過去的課程規劃,並沒有以「80%學生能夠學會」的訴求設計,而本國學生的實徵研究資料中,亦缺乏與「80%學生能夠學會」訴求相關的研究,因此只能以更開放的角度來看,根據教師的經驗、專家的見解及相關的理論,研討出各學習階段的學生,其思考型態及學習方式的主要特徵,並參照該特徵訂定出各階段的能力指標。
另外相關的配合措施有:
對於未能達到全部能力指標的部分學生,各校可利用彈性教學時數進行補救教學,使得這些學生都能達到該階段全部的能力指標,以利於下一階段的學習。
本課程以「80%學生能夠學會」為訴求,對於能力較好的學生,其需求並無法滿足,各校可利用彈性教學時數補充額外的教材,例如函數名稱、方根運算、部分乘法公式、等差等比、多項式的四則運算、一次不等式的解和銳角三角函數等。另外,高中課程進行時,需以上述題材為基礎的部分,應於教學前檢驗學生是否具備。
與過去的課程規劃比較,本綱要的數學內容有增有刪,其主要目的是為了培養學生的能力,並期望教師能夠配合。

2. 學習階段
數學領域將九年國民教育區分為四個階段:階段一(1-3年級)、階段二(4-5年級)、階段三(6-7年級)和階段四(8-9年級)。以下就各階段學生主要的學習方式與思考型態的特徵加以描述(如下表):

階段
(年級)

學習特徵
(學習方式;思考型態)

學習示例


(1-3)

具體操作;視覺

  1. 學生主要是透過具體的操弄來進行學習,例如以花片解決16與9合併的問題。
  2. 學生的思考特徵主要是眼見為憑,例如直觀地依據圖形外貌辨認三角形。


(4-5)

具體表徵;察覺樣式

  1. 學生主要是透過具體的表徵(相對於實物,而以另一種表徵呈現)來學習,例如以長條圖來看各類數據資料的多寡。
  2. 學生的思考特徵主要是能察覺到具體表徵中的樣式,例如察覺三角形有三個邊或是奇、偶數。


(6-7)

類化具體表徵;辨識樣式間的關係

  1. 學生主要是能在不同的脈絡中,使用所學得的具體表徵進行學習,例如透過摺紙或剪紙發現三角形內角和180度。
  2. 學生的思考特徵是能夠辨識出樣式和樣式之間的關係,例如辨識出偶數加偶數仍為偶數的關係。


(8-9)

符號表徵;非形式化演繹

  1. 學生主要是透過符號的表徵來進行學習,例如以x解決倍數關係的問題。
  2. 學生的思考特徵主要是能夠邏輯地關聯關係,並做出非形式化的推論,但尚不能系統地演繹,例如說明三角形的三角和為180度。

注意事項:
上述各階段中的「具體」,並非指像花片、積木等「實物」,而是指該階段學生能夠掌握概念的表徵型式,如「1、2、3」等符號對階段一的學生而言是「具體」的。
大部分該階段的學生,其學習方式與思考型態均以此為主。
後階段包含了前階段的學習方式與思考型態。
各階段內的新概念學習,必須由學生感覺具體的經驗和情境著手。
相鄰兩個階段的課程內容,並非截然二分,而有重疊的部分,且年級越高重疊部分則越多(如下圖)。

<*
3. 電腦與電算器
在這訊息豐富的社會裡,電腦與電算器已廣泛使用於生活之中。每天面對著大量資料,怎樣處理並從中獲致有用的資訊,已成為當今生活中重要能力。九年一貫課程強調能力的開拓與終身學習,2001年開始接受國民教育的學生,將於2020年全部投入職場,屆時,社會對其基本能力的要求勢必更多更高,因此引導學生對電腦與電算器正向且有效的使用已日趨重要。
基於以上的觀點,我們提出下列的一些看法:
在學生學會整數的基本四則運算之後,"何時該作何種運算"的教學應更加強,也更被強調。
複雜的計算工作可儘量交給電算器處理。
大量重複、反覆的計算或技術性的處理,也可儘量交給電腦做。
教師應善用新科技所發展的資源,作為教學素材,讓電腦與電算器成為良好的輔助學習工具。
我們同時也建議:教科書的編著者或廠商,能同步發展一些教學用的軟體或設計一些具特定功能的電算器(如:統計教學用、圖形教學用、……),以協助學生學習並增進其學習成效。

4. 教學
教材選取應依照教學目標,配合地方生活環境和兒童實際生活,選擇適當而有趣的題材。教師應明瞭教材的內容與目標,並布置適當的學習環境,以利於教學。
教學活動需依教材單元性質與學生學習思考特性,採用具體操作、實測、實驗、作圖、觀察、討論、發表、問答…等方式進行。教師不宜僅用講述的方式進行。
教學過程透過引導與啟發,使學生能在問題情境中,形成解決問題所需的數學概念、過程、技能和態度。教師可提供現實生活問題或開放性問題,激發學生不同的想法,應需避免預設或過早提出解題方式和結果,且不宜做機械性的解題訓練。
數學教學應協助學生體驗生活情境與數學的連結過程,培養學生能從數學的觀點考察周遭事物的習慣,提高應用數學的能力。
數學教學應培養數學生以數學語言或方法分析批判周遭事物的精神。
數學教學注重形與數量的聯繫,讓學生在實測與直觀中,獲得數、量、形的概念,並逐步適度地抽象化,進而體會數學的樣式。
數學教學應以學生的直觀經驗為基礎,經過逐步數學化過程的引導,促使學生建立相關知識。精確計算前提供學生估算的活動;實測前提供估測活動;歸納幾何性質前提供幾何形體的觀察、討論的活動。
數學教學應提供充足的時間,讓學生相互合作與討論,並鼓勵學生發表,肯定其個人想法,進而培養其欣賞他人想法的態度。
數學教學前應檢驗學生既有的經驗與知識,並適時補強;教學中應探討學生容易犯錯的原因,並進行診斷。
數學教學著重學生概念的瞭解與能力的培養,應避免強調零碎知識的記憶與背誦。
數學教學應依學生個別差異設計教學活動,鼓勵學生主動參與,培養完整的學習成就感,並啟發其學習與研究數學的興趣。
數學學習遲緩的學生,宜施行補救教學與心理輔導,以激發其學習意願,克服學習困難;資賦優異學生,宜施行補充教學與個別指導,以發展其數學才能。

5. 評量
教學評量方式宜多樣化,應配合教學目標採用紙筆測驗、實測、討論、口頭回答、視察、作業、專題研究或分組報告…等方法,評量學生的知識、技能、能力與態度。
教學過程需採用各種不同的評量方式:評量學生的起點行為以做為擬定教學計畫之依據;評量學生的學習狀況,以便及時發現學習困難,進行補救教學;評量學生的學習所得,做為學生學習回饋及輔導學生的參考。
成績考評的範圍或內容需顧及教材內容與教學目標,其難度應符合學生程度,並著重在呈現學生的學習歷程與所得,期使學生透過成功的經驗,提高學習的興趣與信心。
試卷中除選擇題與填充題外之其他題型,均宜訂定分段給分標準,依其作答過程的適切性,給予部分分數。
評量時得視評量的目的,適度地讓學生使用尺規、電算器…等工具。

 

()附錄

附錄一 主題內容

  此部分呈現「數與量」、「圖形與空間」、「統計與機率」、「代數」和「連結」等五個主題的基本想法和能力指標的闡釋。基本想法的內容包含:主題的理念、目標、重要概念或用詞的描述…等;而能力指標的闡釋則包含:與階段能力指標有關教學活動、指標或活動的說明、舉例…等內容。各主題依其特性呈現。

1. 數與量
本主題又分為「數與計算」、「量與實測」和「關係」三個子主題。

◎數與計算
基本想法:
本領域包含非負整數、分數、小數、概數等概念及其計算,這些都是日常生活中需要用到的知識。數的概念要透過數字、符號或聲音,才能表達與溝通,而這三者之間的連結需要透過說、讀、聽、寫、做的活動來掌握。計算並不一定要求以算則的方式進行,只要是正確的計算型式都應該被認可,而且能養成用電算器或電腦來解決繁雜的計算問題之習慣,並能運用估算的能力於生活中。

能力指標的闡釋
第一階段(1-3年級)


N-1-1

能初步掌握非負整數數詞序列的規律,並能以具體的量、聲音、圖像、數字,進行說、讀、聽、寫、做的活動,表徵2000以內的數。

說明:

說、讀、聽、寫、做,是具體物、數詞與數字符號三者間的轉換活動。看到實物、具體物或圖畫,經由數數活動,說出數詞或寫出數字(說、寫)。聽到數詞,寫出數字或拿出相當數量的具體物(聽、做)。看到數字、讀出數詞或拿出相當數量的具體物(讀、做)。

N-1-2

能掌握10、100、1000和1及100和10之間的關係,做數的二階單位化聚。

說明:

化聚---單位量轉換活動。將用高階單位描述的數量,改用低階單位來描述,叫做「化」。

例、

6個十元是多少元?

說明:

將用低階單位描述的數量,改用高階單位來描述,叫做「聚」。

例、

60元是多少個十元?

說明:

二階單位化聚---利用「10和1」、「100和1」、「1000和1」、「10和100」的關係做化聚,此階段不做「10和1000」的化聚。

N-1-4

能透過累加活動連接倍的語言,理解乘法的意義並解決生活中簡單(積≦100)的整數倍問題(例如:單位數≦12,單位量≦15)。

例、

一隻青蛙4條腿,5隻青蛙幾條腿?
累加---?4?+?4?=?8 8?+?4?=?12 12?+?4?=?16 16?+?4?=?20
倍的語言---?5個4合起來是多少??? 4的5倍是多少?

N-1-7

在等分好、整體1能明顯出現之具體生活情境中(包含連續量、離散量),能以真分數(分母在20以內)描述內容物為單一個物的幾份,並能延伸真分數的意義,進行同分母真分數的合成、分解活動(和<1)。

說明:

連續量---單位分數之內容物為單一個物。

例、

已經等分成12份之一條繩子(但還沒剪開,如此『一條繩子』才能明顯呈現),單位分數『1/12 條繩子』之內容物為一份繩子,即單一個物。

說明:

離散量---單位分數之內容物為單一個物。

例、

一打鉛筆12枝,單位分數『1/12 打鉛筆』之內容物為一枝鉛筆,即單一個物。

說明:

連續量情境對分數出現之需求感較強,且離散量的情境中,會出現兩個單位(整體的1與內容物的1),學生學習時容易產生混淆,故通常先出現連續量的案例。

說明:

真分數之初步意義是察覺分數的pattern來描述分量,但兒童無法利用此種意義來作分解合成之運作。

例、

一打鉛筆12枝,1枝鉛筆是1/12 打、2枝鉛筆是2/12打

說明:

延伸真分數的意義意旨能將真分數視為n個單位分數之合成。在這種意義下,兒童才能掌握真分數合成分解之運作。

例、

將2/12打鉛筆視為2個1/12打鉛筆的合成、3/12打鉛筆視為3個1/12打鉛筆合成。


第二階段(4-5年級)

N-2-3

能理解加、減的直式算則。

說明:

能知道5+7=12,寫2進1, 是因為每個位置只能有一個數字,所以將10個1換成1個十,記在十位。
15
+ 27
---------------
42

N-2-5

在等分好、整體1能明顯出現之具體情境中,能以真分數來描述單位分數內容物為多個個物的幾份,進行同分母真分數的合成、分解活動,並理解等值分數的意義。

說明:

單位分數內容物為多個個物之離散量案例如下

例、

一打鉛筆12枝,單位分數『1/4打鉛筆』之內容物為3枝鉛筆即多個個物。

說明:

等值分數之意義有兩個層次:

  1. 以兩個真分數所描述的分量是否相等的角度來考慮,如下列問題所指出的思考方向:3/12打鉛筆有幾枝鉛筆?1/4打鉛筆有幾枝?兩者一不一樣多?怎麼記?
  2. 下層單位之改變,如將1/4打鉛筆之內容物3枝鉛筆視為一捆,則一打12枝可視為4捆,所以1/4打和3/12打都在描述同一分量,故等值。(但這個層次的達成,通常要到第三階段才完成。)

第三階段(6-7年級)
(略)

第四階段(8-9年級)
(略)
◎量與實測
基本想法
本領域包含長度、重量、容量、時間、角度、面積、體積等生活中常用的七種量,兒童對這些量(除了時間)概念的認知發展形成都要經歷下列五個階段才算完整:1.量的初步概念。2.量的間接比較。3.個別單位的描述。4.公制單位系統內的認識與換算(化聚)。5.量的公式概念(只有面積和體積有此階段)。

  1. 初步概念:透過感官感覺一個量;能對兩個同類量作直接比較;能以整體、合成複製的方式複製一個量;利用刻度尺描述一個量。

  2. 間接比較:對無法直接比較的兩個同類量,透過複製一個媒介量,利用此媒介量與另一量進行直接比較,並把比較的結果推論成原兩量比較的結果(含量的保留概念、量的相等、大小的遞移律)。

  3. 個別單位:從等量的合成、複製的結果來描述一個量,並進行比較。能利用普遍單位之描述,對兩個同類量進行加、減、乘、除運作。認識各類量的基本普遍單位(如長度的米、厘米、千米;容量的公升、分公升、毫公升、千公升;重量的克、公斤、千公斤;面積的平方厘米、平方米、百平方米、千平方米;體積的立方厘米、立方米;角度的度)。

  4. 單位化聚:將用小單位描述的量,改用大單位來描述,這種運算叫做『聚』。如:12345公尺可聚成12公里345公尺或12.345公里。反之則叫做『化』。如:1.65公斤可化成1650公克。

  5. 公式化的概念:只有面積和體積兩量有此層次,此層次的要點是用公式來描述一個特定的幾何形體的體積和面積量。此層次包括3個階段,以面積為例說明如下:

利用乘法簡化點算的過程(一個長方形被多少個小正方單位所覆蓋?)。
將平行四邊形、三角形、梯形切割重組成長方形而求算其面積(此處包含進一步將多邊形切割成幾個三角形,求算這些三角形面積後,算出其和。)。
將在和中求算面積的過程中,以公式描述並將這些公式整合成一個概念。(在此整合概念中,梯形是一般形,三角形可視為上底為0的梯形,而長方形、平行四邊形則可視為上下底等長的梯形,在這種看法下,上述各形的公式,其實是互通的。)
※建議:在某些產品的標示上,會出現英文字母的公制單位,如:m、km、cm、mm、g、kg、l、ml、cc….等,應在課程中出現,至於英制單位,如:ft、mile、inch、gallon、pound(lb)、gunce(oz)、fon等和台制單位,如台尺、台斤、坪等則不應出現在課程中。

能力指標的闡釋
第一階段(1-3年級)


N-1-10

能使用生活中常用的測量工具(刻度尺的方式,即不涉及其結構),以一階普遍單位描述一個量(量:長度、容量、重量、角度、面積、體積;普遍單位:米、厘米、分公升、千克、克、度、平方厘米、立方厘米)。

說明:

一階普遍單位描述一個量,如:大約有多長?

例、

學生會以?“?5公分多”?或?“?6?公分少”?作描述,即以?“1cm”單位來描述。

說明:

刻度尺結構是指測量工具間的關係。

例、

100cm是100個1cm。

第二階段(4-5年級)


N-2-11

能理解生活中,各種量的測量工具上刻度間的結構,進而對以同單位表達的量作形式計算。

例、

3公分?+?5公分?=?3個1公分和5個1公分的合成?=?8個1公分?=?8公分

N-2-12

能知道同類量中二階單位之間的關係及使用二階單位作描述,並利用此關係作整數化聚。

說明:

二階單位作整數化聚的例子如下

例、

1時20分=80分、80分=1時20分,但不做1時20分=?? 時。

第三階段(6-7年級)
(略)

◎關係
基本想法
在生活的數學題材中,除了數、量、形等較具體的數學物件外,一定會進一步去探討兩個物件間的關係,例如:數與數、量與量、數與量之間的關係等,這些都屬於本領域的範圍,至於與幾何物件之間的關係則規劃到幾何領域內,函數關係則屬於代數領域。

能力指標的闡釋
第一階段(1-3年級)
(略)


第二階段(4-5年級)

N-2-14

能在情境中,理解乘法交換律、等號的對稱性、「<、=、>」的遞移性、加法和乘法的結合律與分配律,以及乘法和除法的相互關係。

說明:

等號的對稱性---等號兩邊的物件,位置交換,不影響其原有的關係。

例、

5?+?3?=?4?+?4 4?+?4?=?5?+?3

N-2-17

能察覺簡單數列之規律。

例、

3 7 ? 11 ? 15…?
1 3 ? 5 7 ? 9 11…
2 4 ? 6 ? ?8 ?? 10…
3 6 ? 9 ? 12 ? 15…?

N-2-19

能利用等分好的線段上,做出一條簡單的整數數線,並能進一步延伸至簡單的分數和小數的數線。

例、
0    3         6       9        12

 

 

 

 

 

 

 

 

0     1/3      2/3       1

 

 

 

 

 

 

 

第三階段(6-7年級)


N-3-19

能察覺梯形、三角形、長方形、平行四邊形等面積公式之間的關係。

說明:

見「量與實測」基本想法中之5之(3)

N-3-21

能在情境中理解等量公理。

 

例、

若a > b , c > 0 則 ac > bc。
若a = b則a + c = b + c。
若a < b , c > 0 則 ac < bc。

2. 圖形與空間

基本想法
自古以來,世界上各古文明都經由實地的觀察,實驗而總結得一套可觀的空間知識。本領域也秉持著這樣的觀點,認為圖形與空間的學習,應從學生生活經驗中所熟悉的形體入手,透過察覺、辨識、操作、實驗,發現形體的組成要素及其與形體之間的關係,進而能確立空間的基本概念,掌握空間的基本性質,進行簡單推理,學習據理而推的科學方法,進而養成日常生活中推理有據的習慣。

能力指標的闡釋
第一階段(1-3年級)


S-1-1

能由形體的外觀辨認出某一形體。

例、

從各種圖形(正方形、長方形、三角形、圓、…)中找出三角形

S-1-2

能依據二維、三維基本形體的外觀做簡單分類。

說明:

在本階段中基本形體係指正方形、長方形、三角形、圓、球、正立方體、長方體、圓柱。

例、

分類教室中的各種平面圖形。

S-1-3

能複製二維、三維的基本形體。

例、

描繪簡單的二維圖形。
用黏土與刮刀仿製一個圓柱。

S-1-4

能使用非標準或標準的名稱描述基本形體。

例、

學生將三角形的內角稱為角落。

S-1-5

能察覺在生活情境或形體中的角。

例、

桌子的桌角(圖形角)

S-1-6

能運用上下、左右、前後、內外等方位語詞描述兩物的相對位置。

例、

運用上下、左右、前後、內外等方位語詞玩大地遊戲。

S-1-7

能透過實際操作認識鉛垂線與水平線、水平面。

例、

利用裝有水的瓶子,傾斜之後觀察水平面、水平線。

S-1-8

能辨認周遭物體中的直線、平面。

例、

能察覺指定物體在不同方位的截面。
能用具體操作檢驗空間中的三點是否共線

S-1-9

能辨認平面圖形的內部、外部及其輪廓線(周界)。

例、

給定平面上曲線所圍成的封閉圖形,請學生將其內部著色,並描摹其輪廓線。

S-1-10

能透過具體操作判斷某些簡單圖形可作無空隙的平面舖設或立體堆疊(面積、體積)。

例、

用全等的鳶形(或正方形、正六邊形、…)圖卡,作無空隙的平面舖設。
能用長方體堆疊出無空隙之正立方體。

本階段可提供學生下列的學習經驗或機會:
泝讀與方位有關的標誌及立體模型位置圖(例如能根據公園平面圖、百貨公司樓層配置圖或停車場平面圖找到要去的地點)。
沴依據說明圖示將5個零件以下的形體完成組合。

第二階段(4-5年級)


S-2-1

就給定的幾何形體,能確認並說出組成要素的名稱,並在檢驗後適當地描述其要素間的關係。

例、

知道三角形有三個邊、三個角、三個頂點。
知道圓有圓心、半徑、直徑、圓周。

S-2-2

能依基本形體的組成要素之間的關係比較兩形體的異同。

例、

能辨認、比較等腰三角形、直角三角形、正三角形的異同。
能辨認、比較長方體、正立方體、圓錐、角錐、圓柱、角柱的異同

S-2-3

能透過實測察覺形體的性質。

例、

能透過實測察覺等腰三角形和正三角形的性質(如等腰三角形兩邊相等,兩底角相等)。

S-2-4

能運用東西南北的語詞描述位置及方向。

例、

能根據相對位置語詞的描述,複製由基本幾何形體構成的圖形。

S-2-5

能瞭解兩鉛垂直線及兩水平直線互相平行。

例、

觀察教室中的柱子,兩邊線是否平行。

S-2-6

能瞭解張開程度、旋轉程度和角的關係。

例、

透過三角板辨認在生活情境或圖形中的直角。
能運用量角器瞭解圖形中角的大小。

S-2-7

能辨認平面圖形上的線對稱關係。

例、

教師提供平面對稱圖形(如:囍…),供學生觀察並發表心得。
能對單一圖形以具體方式辨認其左右圖形是否完全疊合。

本階段可提供學生下列的學習經驗或機會:
泝讀簡易平面位置圖。
沴根據所給的簡易學區地圖標出自己上學的路線圖。
沊根據某些地標問路及回答。
沝預測運動中物體的路徑。


第三階段(6-7年級)


S-3-1

能使用形體的性質描述某一類形體。

例、

將長方形形容為有四個直角的四邊形

S-3-2

能指出合於所予性質的形體。

例、

從一堆四邊形中,指出對角互補的四邊形。

S-3-3

能從一類形體的特??中,指出那些性質也適用於另一類形體。

例、

能知道長方形四個內角是直角,且指出四個內角是直角的四邊形也可能是正方形。

S-3-4

能利用構成要素間的可能關係,描述複合形體要素間的可能關係。

例、

能指出某個窗戶是長方形及半圓形所拼成的,且長方形的寬是圓的直徑。

S-3-5

能利用形體的性質解決幾何問題。

例、

學生將四邊形分成兩個三角形,利用三角形的內角和180度,發現四邊形的內角和360度。

S-3-6

能運用直角坐標系及方位距離來標定位置。

例、

能根據戲院的票根所提供的數字找到位置。
能知道颱風中心在某處(如:甯K)東南方100公里的意義。


S-3-7

能瞭解平面上兩直線互相平行、垂直的概念。

例、

能透過實測檢驗兩平行線間的關係,如距離處處相等、內錯角相等。

S-3-8

能瞭解平面圖形線對稱的意義。

例、

能透過格子點的引導辨識平面對稱圖形。

S-3-9

能辨識基本圖形間對應邊長成比例時的形狀關係。

例、

能透過實測檢驗對應邊長成比例的兩三角形其對應角必相等,反之亦然。但四邊形則否。

S-3-10

能透過實測辨識三角形、四邊形、圓的性質。

例、

等腰三角形的頂角平分線垂直平分底邊。
三角形兩邊和大於第三邊。
透過活動發現三角形內心、外心、重心的存在。
經由實驗發現三角形兩邊中點連線段平行第三邊且其長度為第三邊之一半。
以摺疊或三角板檢驗圓。

S-3-11

能操作圖形之間的轉換組合。

例、

經由簡單切割將平行四邊形重組成長方形。
經由簡單切割將三角形重組成長方形。
在太陽光源(或點光源)下,操作長方形,使學生觀察其影子(投影)的形狀變。

本階段可提供學生下列的學習經驗或機會:
泝讀街道圖確定自己的位置及路線。

第四階段(8-9年級)


S-4-1

能根據給定的性質作局部推理。

說明:

局部推理是指步驟數為一兩步的推理。

例、

能根據三角形的全等性質、三角形的相似性質、四邊形的性質、圓的性質等作局部推理。

S-4-2

能非形式地辨識敘述及其逆敘述間的不同。

例、

菱形的對角線互相垂直,反之則不一定。

S-4-3

能以最少性質辨認刻劃一個圖形,並理解定義的意義。

例、

透過特殊四邊形(如正方形、長方形、菱形、平行四邊形…)的性質描述,瞭解最少性質與定義關係。

S-4-4

能根據性質瞭解某些圖形間的包含關係。

例、

知道正三角形是等腰三角形的一種。
知道正方形、長方形、菱形、平行四邊形彼此間的包含關係。

S-4-5

能瞭解垂直、平行的定義。

例、

知道兩直線垂直於同一直線,則此兩直線互相平行。

S-4-6

能利用垂直平分的概念檢驗對稱軸。

例、

檢驗平面上兩全等圖形間的直線是否為對稱軸。

S-4-7

能辨別檢驗兩圖形是否相似。

例、

能對簡單的相似多邊形,指出對應邊成比例對應角相等。
能利用伸縮中心探討圖形的放大縮小。

S-4-8

能運用相似三角形的性質進行簡易測量。

例、

實測學校旗桿高度

S-4-9

能根據直尺、圓規操作過程的敘述,完成尺規作圖。

例、

利用直尺、圓規做出一平行四邊形。

本階段可提供學生下列的學習經驗或機會:
讀地圖、地球儀、太陽系模型。
瞭解地圖比例尺的意義及其用法。
協助成人完成家具組裝。
觀察洋蔥、包心菜的縱切面後,能推知其長成次序為由內而外(觀察生物的縱切面及橫切面,推知其結構及長成次序)。
應用長度、面積等比例來分析成人與兒童體形的差異。

 

3. 統計與機率

基本想法
在國民教育階段中,以學生的生活經驗為主,從學生感興趣的主題出發,培養每位國民應具備的統計素養;使其學會敘述統計所呈現出的數字和圖表的意義,強調圖表的表達和溝通,並瞭解抽樣、機率的初步概念,且能正確地運用各項統計資料於實際的生活中。
因此,在統計和機率的教學目標為:
認知技能方面
能分類和整理生活中所看到的現象或活動的結果。
認識生活中常見的統計圖表。
能對所搜集的資料,製作最適合表現該整體資料的統計圖表。
能從統計圖表的資料中抽出有意義的資訊。
能利用統計量來瞭解資料的集中與散佈的情形,知道代表數與百分位數的意義。
能解讀大筆資料的統計圖表以感受統計圖表的功用。
能利用生活事件瞭解機會的意義。
能嘗試使用電腦進行機率的實驗模擬,以瞭解機率的初步概念。
能利用生活事件瞭解抽樣的現象。
能對自己關心的主題利用統計圖表表現。

情意態度方面
培養學生對統計數字、圖表具有敏銳的感覺。
引導學生關心生活周遭與統計、機率相關的素材,例如:與學生身心發展、衛生習慣、環保教育等有關的素材。
引導學生對統計、機率相關的資料做延伸的討論。

  有關統計與機率的重要用語和概念如下:
報讀是指「看到資料直接讀出來」(例如:男生戴眼鏡的人數為60%,女生戴眼鏡的人數為28%)﹔而解讀是指「觀察資料」之後,依學生程度「用自己的話說出其對資料的想法」(例如:男生戴眼鏡的人數大約是女生的兩倍)。
統計圖表的解讀只有描述的好壞沒有所謂的標準答案,重要的是能從統計圖表中抽取有意義的資訊,並能與人溝通。
評量的重點在於對資料的解讀而非統計量精確的計算。
電腦軟體的主張是教科書出版商應設計搭配教材的專用軟體,或架構在現成的商業軟體上,但要設計良好的介面,讓學生在進行學習時,不需要有電腦基礎就能利用電腦進行統計教學活動,介面的良窳決定統計電腦教學的成敗;教師手冊內應包含詳細的軟體操作和教學活動示例。
現成資料是指利用報紙、網路、機關單位公告等的現成統計圖表,直接解讀圖表中的意義,或利用所擷取的數字資料透過電腦軟體轉換成圖表再加以解讀。
鼓勵學生嘗試使用電腦軟體有兩種意義:統計的活動有資料收集、分析與解讀,利用電腦可節省計算及繪圖的時間,讓學生集中精力在解讀資料上;藉由電腦的快速計算可幫助學生瞭解統計與機率的深層意義。
示例僅作為分段能力指標與教學內容的溝通與說明,並未完備;圖表也只是示意,未完整標示座標軸或刻度,教學時應使用完整的圖表,並於上下文交代相關名詞。

能力指標闡釋

第一階段(1-3年級)


D-1-1

能將資料做分類與整理,並說明其理由。

D-1-2

能報讀生活中常見的一維表格。

1. 對生活中的事件或活動做初步的分類及非正式的記錄。

說明:讓學童自由發揮,允許學生多元的分類與記錄方式,只要能夠將資料加以整理即可。
例、對自己的書籍作分類與記錄。
有些學生會依照書籍的厚薄來分類、有些學生會依照書籍的顏色來分類、有些學生會依照書籍的類目來分類…,分類的方式會依不同的需要而有異,只要能夠將一堆書籍清楚地表現即可。
對班上小小圖書館中的書籍作分類與記錄。
班上同學也許有多種不同的分類與記錄方式,讓學生看看彼此的記錄,並且討論哪些同學記錄的比較好。


2. 將非正式的記錄,以統計表呈現並能報讀。

 例、   

分類別

鉛筆

剪刀

書本

數量

3

1

5

0

"

&

3

1

5

鉛筆

剪刀

書本

<*

<*

<*

0

"

&

<*

<*

<*

 

3. 報讀生活中常見的一維表格,並在生活上應用。

說明:配合「數與量」單元進行教學。
例、 超級市場日用品價目表。
時刻表。如汽車時刻表、國內飛機時刻表。
電視節目表。

 

4*.將分類資料的數量用圖卡表示,並從所形成的圖形中解讀各類數量的大小關係。

說明:此乃認識長條圖(D-2-1)的前置活動,以圖卡堆疊來表示數量的大小。
例、以<*與<*代表數量1。以<*代表數量10。

<*<*

第二階段(4-5年級)

D-2-1

能報讀生活中分類資料的統計圖表。

D-2-2

能將分類資料整理成長條圖,並抽取長條圖中有意義的資訊加以解讀。

D-2-3

能解讀長條圖的各種變形。

D-2-4

能解讀現成資料之長條圖。

D-2-5

能報讀生活中常見的二維表格。

1.? 報讀生活中分類資料的統計圖表。

說明: 可利用生活上的統計圖,作為例子。
要配合課文上下文及教學的需要,提供完整的統計圖表。
此階段不涉及座標的教學,只需對橫軸、縱軸的資料有所瞭解。
例、常見的統計圖樣式(參見下圖1 ~ 圖6)

圖1

圖2

<*

<*

圖3
<*


圖4

圖5

<*

<*

圖6
<*



2. 將分類資料用長條圖表現,並從長條圖中解讀其代表的意義。

說明:學生可將現成資料做成長條圖,並解讀之。
例、各國每人每日垃圾量(中國時報88.6)。
因為想要瞭解每個人每天會製造多少垃圾,而收集了下面的資料:台灣每個人每天的垃圾量為1.14公斤、日本1.09公斤、新加坡1.10公斤、德國1.09公斤、美國2.00公斤、南韓1.07公斤、英國1.34公斤、法國1.53公斤、荷蘭1.58公斤。並將資料以長條圖(請參見圖7)表現後加以解讀。
問:從圖中可以看出什麼?你有什麼想法?

圖7
<*


   台灣地區最主要宗教的信徒人數統計(內政部,民88)。
小馨想要瞭解台灣哪些宗教有較多的信徒,於是從網路上收集有關的資料,將收集到的資料分類整理後如下表,並從資料中挑出擁有最多信徒的5種宗教,將之以長條圖表現(請參見圖8),並且根據長條圖加以解讀。
問:你從這個圖中可以看出什麼?有什麼想法?

宗 教 別

道教

佛教

回教

天理教

一貫道

基督教

天主教

信徒人數(千)

4505

4863

52

22

942

421

304

圖8
<*

3.? 解讀長條圖的各種變形。

說明:利用已學過的長條圖知識,讓學生舉一反三地對變形長條圖進行解讀,並非需要教遍各種變形長條圖。
示例中的各種變形長條圖不一定都要呈現,可以當作學習活動來進行相關討論。
例、各種變形長條圖的樣式(請參見圖9∼圖12)。

圖9

圖10

<*

<*

 

 

圖11

圖12

<*

<*

 


4. 從真實資料的現成長條圖中,直接抽取有意義的資訊並加以解讀。

說明:解讀真實資料的長條圖,主要是強調與生活真實情境的連結。
現成長條圖包括在報紙或雜誌中所見之長條圖、利用電腦繪製而成的長條圖等等,此目的在於著重學生直接對於長條圖的解讀,而非著重將資料轉換成長條圖,且讓學生省去繪製大量資料圖表的時間。
統計圖表的功能在於由圖表中可輕鬆掌握整筆資料,如果只看原始資料不容易有個整體印象。
例、根據教育部統計學生意外事件(中國時報?88.3)(請參見圖13)。
問:你從這個圖中可以看出什麼?有什麼想法?

 

圖13
<*

   近十年各縣市人口數概況(中國時報88.4)。
為了要瞭解台灣地區人口的分佈情形。於是班上同學從報紙中找到了近十年各縣市的總人口數,並將資料繪製成長條圖,下面是兩位同學畫的長條圖(請參見圖?14∼圖?15),從這個圖中可以看出什麼?你有什麼想法?兩位同學畫的長條圖有什麼不同?你覺得從哪一個圖中比較容易瞭解台灣地區人口的分佈情形?


圖14
<*

圖15
<*

5. 報讀二維表格,並能在生活上應用。

說明:配合「數與量」單元進行教學。
例、報讀火車時刻表,並安排旅行計畫。

6. 計算小筆資料的平均數,並瞭解平均數的初步概念。

說明:此乃D-3-1的前置活動。
例、計算全班小朋友的平均身高。
統計全班同學去年一年中大約看病幾次?


第三階段(6-7年級)


D-3-1

能利用統計量,例如:平均數、中位數等,來瞭解資料集中的位置。

D-3-2

能嘗試使用電腦軟體處理大筆資料的統計量計算,並加以應用。

D-3-3

能運用生活經驗來瞭解機會。

D-3-4

能報讀生活中有序資料的統計圖表。

D-3-5

能將有序資料整理成折線圖,並抽取折線圖中有意義的資訊加以解讀。

D-3-6

能解讀各式各樣的折線圖。

D-3-7

能利用比值和百分率的概念,報讀相關的統計圖表。

1. 利用平均數、中位數等,來瞭解資料集中的位置。

說明:

強調統計量意義的瞭解(重觀念),而非統計量的計算。

例、

中央健保局公佈國人就醫次數調查,國人平均每年門診次數達15次,去年有人每天看病達3次,有人甚至一年就醫次數達1043次……(聯合報88.2)。
問: 小朋友根據自己的經驗想想看,去年看病大約幾次,健保局公佈的看病平均數為每年15次,和你的經驗相符嗎?
問:說說看,根據自己的經驗去年看病大約幾次,統計全班的次數並算出平均數,班上平均數和健保局公佈的平均數有差異嗎?差多少?你有什麼看法?

 

根據警政署刑事局統計87年的犯罪統計,去年平均每小時就發生11.8件竊盜案件……(中國時報88.2)。
問:由上面的敘述「平均每小時發生11.8件竊盜案件」你有什麼想法?

2. 嘗試使用電腦軟體計算大筆資料的平均數、中位數等,並能在生活上應用。

說明:

取材須符合學生經驗,儘量以學生有興趣的主題進行教學活動。

3. 計算整筆資料的加權平均數,並瞭解加權平均數的意涵。

4. 運用生活經驗來瞭解機會。

說明:

在此,機會指的是口語上的機會,可能根據自己客觀的經驗,也可能包含了個人的主觀。

例、

今天的冠亞軍賽,哪一隊贏的機會比較大?
小明今天遲到的機會有多大?
抽一張撲克牌,抽到黑桃和抽到A哪一個機會比較大?

5. 報讀生活中有序資料的統計圖表。

例、

示例只是提供統計圖表的樣式(請參見圖16 ~ 圖19)。

圖16
<*

圖17

圖18

<*<*

<*

圖19
<*


6.將有序資料用折線圖表現,並從折線圖中解讀其代表的意義。

例、

1993?年至?1996?年?4~18?歲女學童的生長折線圖(衛生署,民82-85)(請參見圖20)
問:從此圖中你有什麼看法?


圖20

平均

<*
 
年齡(歲)


 

7.解讀各式各樣的折線圖。

例、

女性各年齡層平均身高及體重在82年與85年的兩次調查結果比較(衛生署,民82-85)(請參見圖21 ~ 圖22)。
問:從此圖中你看到什麼?根據此折線圖所提供的資訊你有什麼想法?

?

圖21

<*


圖22

<*

 

累積次數。(請參見圖23)

?

50分以下

60分以下

70分以下

80分以下

90分以下

10人

13人

17人

20人

30人

?
?

圖23
<*

?

8.? 利用比值或百分率的概念,報讀相關的統計圖表。

例、

長條圖:根據教育部公佈八十六學年度第二學期「中等以下各級學校學生平均每日睡眠時間」調查(中國時報88.6)(請參見圖24 ~ 圖25)。
問:你從這個圖中可以看出什麼?有什麼想法?

圖24

 

<*

圖25

台北市中等以下學校學生平均睡眠時間

<*

 

? 長條圖:根近十年(76年-86?年)各縣市人口增長概況(中國時報88.4)(請參見圖26)。可配合第二階段4之圖14∼15進行觀察與討論。
問:你從這個圖中可以看出什麼?有什麼想法?

圖26
<*

?

 

折線圖(請參見圖27)

 

圖27
<*

 

折線圖:近視率。台灣學生近視罹患率(康健雜誌,88.2)(請參見圖28∼圖29)。
問:你從這個圖中可以看出什麼?有什麼想法?

圖28
<*

圖29

國小一年級學童十年間的近視罹患率

?
?

<*

 

其他圖形(請參見圖30)。

?
?

圖30

?

身體各部位受傷人數百分數

?
?

<*
第四階段(8-9年級)


D-4-1

能利用統計量,例如:百分位數,來瞭解資料散佈的情形。

D-4-2

能將資料整理成圓形百分圖,並抽取圓形百分圖中有意義的資訊,加以解讀。

D-4-3

能進行簡單的實驗,以瞭解機率、抽樣的初步概念。

D-4-4

能嘗試使用電腦軟體進行實驗,以瞭解機率、抽樣的意義。

D-4-5

能解讀現成資料之折線圖、圓形百分圖、及與百分位數有關的統計圖表。

D-4-6

能自訂主題,蒐集資料,利用統計圖表抽取與主題有關的資訊。

?
?

 

?

1.? 利用百分位數來瞭解資料散佈的情形。

說明:

百分位數的計算只需做到10、50、90百分位即可。
藉由對小筆資料的排序,以瞭解百分位數的意義。
教學的重點是在掌握百分位數的概念,學生處理百分位數時並不強調精準地計算,而重在瞭解百分位數的意義。

2.? 在提供刻度的圓形上製作百分圖,並從該圖中解讀其代表的意義。

說明:

學生作圓形百分圖時,需提供類似直尺上的刻度(刻度有大中小,共100個小刻度),讓學生依照圓上的刻度作圖。

例、

資料來源為國小數學實驗教材十一冊,民86。(請參見圖31)

圖31
<*

3.? 在生活中進行簡單的實驗,以瞭解機率的初步概念。

說明:初步資料的收集(丟骰子、抽球等實驗)可以利用課餘進行。
例、教師將裝有10顆球的袋子(其中有3顆紅球7顆黃球),展示於學生面前,學生已經知道共有10顆球且分成2種顏色,但不知道各有幾顆,讓每位同學抽1個球,並統計全班抽到紅球、黃球的次數各有幾次,做成分類表或長條圖,觀察結果,看看之間的比例,用此比例來猜猜袋中紅球與黃球的比例?再以此比例猜猜袋中的10顆球中有幾顆紅球、幾顆黃球?
教師將裝有10顆球的袋子(其中有3顆紅球7顆黃球),展示於學生面前,學生已經知道共有10顆球且分成2種顏色,但不知道各有幾顆,讓班上每位同學進行下面的實驗。實驗活動為:班上每一位同學從袋中抽球,每次抽一個,連抽12次,看看12次裡面抽中幾次紅球,得出抽中紅球的比例,統計班上每位同學的比例繪製成長條圖(橫軸代表抽取12次中出現紅球的比例,而縱軸代表抽中此比例的人數),讓學生從圖中觀察與感覺,猜猜袋中哪一種顏色的球比較多?又兩種顏色的球大約各有幾個?
承續上例。收集全學年各班級實驗的結果,觀察彙整後的長條圖,再次讓學生從圖中觀察與感覺,猜猜袋中哪一種顏色的球比較多?又兩種顏色的球大約各有幾個?

4.? 在生活中進行簡單的實驗,以瞭解抽樣的初步概念。

說明:初步資料的收集(丟骰子、抽球等實驗)可以利用課餘進行。在生活中進行簡單的實驗,以瞭解機率的初步概念。
例、本活動的目的在於,讓學生在抽樣實驗中,經驗樣本被抽到的機會一樣多的可能。實驗活動為:10個已編號的乒乓球,每人抽3個,抽完後統計每個乒乓球被抽到的次數,將結果繪製成長條圖,看看每個乒乓球被抽到的機會是不是一樣多?
本活動的目的在於,讓學生在抽樣實驗中,經驗樣本被抽到的機會一樣多的可能。實驗活動為:每個人丟骰子5次,統計各種點數出現的次數,將結果繪製成長條圖,讓學生觀察長條圖,看看各點出現的次數是不是一樣多?
理想中每一個樣本被抽到的機會一樣多,而本活動的目的在於讓學生經驗實際上樣本被抽到的機會不一樣多的可能性。實驗活動為:10個已編號但觸感、大小皆不相同的石頭,每人抽3次,統計每顆石頭被抽到的次數,繪製成長條圖,看看每個石頭被抽到的機會是不是一樣多?(本例的長條圖可與上例的長條圖互相比較讓學生觀察討論)
讓學生討論報紙公佈的收視率調查結果,能不能代表全體國民的意見,並與上述示例的關連。


5.? 嘗試使用電腦軟體進行實驗,以瞭解機率的意義。

例、教師將裝有10顆乒乓球的袋子(其中有3顆白色乒乓球7顆橘色乒乓球),展示於學生面前,學生已經知道共有10顆球且分成2種顏色,但不知道各有幾顆,每個人抽100次,一次抽一顆球,當他抽完n次時,共抽中r次紅球,那麼r/n為當時抽中紅球的比例,再以n為橫座標以r/n為縱座標作成折線圖,觀察該折線圖,當n變大時r/n有何趨勢?(使用電腦軟體進行教學時,可以快速且反覆抽好幾個100次,讓學生感覺各次的趨勢是否大致相同?)

6.? 嘗試使用電腦軟體進行實驗,以瞭解抽樣結果與事實的差距程度。

例、利用學校的現成資料,像是全校學生(例如:1000人)的身高、體重、視力或家庭人口數等等,以電腦隨意抽出100筆資料,讓學生看看原來的資料(母體:1000人)所繪成的統計圖表,和只抽取100人時的資料所繪成的統計圖表有何差異?
收視率調查。利用電腦做實驗的模擬,來調查收視率。若某台實際的收視率為20%,利用電腦模擬抽樣300戶進行調查,得到1個樣本收視率,重複抽取多次(例如:3000次),得到3000次樣本收視率,看看樣本收視率與實際收視率的差距。

7.? 從真實資料的現成折線圖、圓形百分圖及與百分位數有關的圖表中,直接抽取有意義的資訊並加以解讀。

例、折線圖(請參見圖32)
圖32
<*

 

  ?? 1986年至1988年台灣地區女性體重的百分位折線圖(中華民國營養學會雜誌,1991,p.74)(請參見圖33)。
問:根據此圖所提供的資訊你看到什麼?有什麼想法?從此圖中可以看出女性年齡大約在19歲左右的時期,體重有下降或是停止的趨勢,這可能是什麼原因造成的呢?又50歲之後體重也有明顯下降的趨勢,這又可能是什麼原因造成的呢?

圖33
<*

8.? 就自己有興趣的事件自訂主題,蒐集有意義的資料,並利用可表現整體資料的圖表,從圖表中抽取與主題有關的資訊。

說明:自訂題目、蒐集資料、能夠解讀等等,皆為強調將所學運用出來,且能與生活結合。
   本學習活動不一定要在此階段才能進行,在前面二、三階段教師都可以配合學生的統計能力來進行此活動。
可仿前面提供的統計示例,鼓勵學生自行選擇有興趣的主題進行活動。

4.代數

基本想法
代數的學習應從學生生活經驗中的數量關係出發探討,培養每位國民觀察數量關係並且展現數量關係的數學結構之能力。透過合理推論,發展代數思維,提昇思考層次,進而應用於生活中,提昇生活品質。

能力指標的闡釋

第一階段(1-3年級)

A-1-1

能透過具體操作,解決來自生活情境問題中已列出的算式填充題。

1. 透過具體操作,解決來自生活情境問題中已列出的算式填充題。
說明:ぇ? 算式填充題乃指形如7?+?(? )?=?15、16?–?(? )?=?7、(? )?+?6?=?13、
(? )?–?13?=?2等等的式子,是學生對於問題情境的表徵記錄。本活動與第二階段1、2的目的均非為了「寫下解決問題時的記錄」,而是希望能夠「發展代數思維」。這裡的表徵方式有助於後續學習中列代數式的活動。
え以往有些國中學生會在轉化問題情境為數學式子時發生困擾,除了國小解題中程序性解法的過度強調外,一部份原因是他們缺少這類思考方式的舊經驗,故提供學生充分的轉化經驗為有意義的。另一方面,學生在數的學習中有解題記錄活動,此處則是藉由那些活動引伸出對其後續學習(例如將問題情境轉化為數學式)有助益的活動:使學生利用適當時機培養觀察數量關係及展現出來之數學結構的能力,而這正是規劃代數學習的基本想法。
ぉ? 這種表徵方式有助於後續學習中列代數式的活動。在本期中學生可透過點數具體物或半具體物來解決算式填充題。
お? 本期的教學與佈題須考慮學童認知發展以及學童數運算的成熟度,循序漸進。

2*.透過具體表徵,解決從生活情境問題中已列出的算式填充題。
說明:這個活動是第二階段2的前置。

第二階段(4-5年級)

A-2-1

能將生活情境中簡單問題表徵為含有△、□、甲、乙、?、…等的式子,並能解釋式子與原問題情境的關係。

A-2-2

能透過具體表徵,解決從生活情境問題中列出的算式填充題。

A-2-3

能透過具體觀察及探索,察覺簡易數量樣式,並能描述樣式的一些特性。

A-2-4

能使用中文簡記式(簡字式)描述長方形、長方體之長度、面積、體積等幾何量。

1. 將生活情境中簡單問題表徵為含有△、□、甲、乙、?、…等的式子。
說明:生活情境中簡單問題乃指在學習數的運算時所經驗到的生活情境問題,一般而言,此類問題多是學生可以求出一個確切答案的問題。因此,△、□、甲、乙、?、…等在此所代表的是問題情境中可以運算出但是未知的數值。
例、問題情境:我今天放了20元進撲滿,打開撲滿一算,這個月我共存了430元,今天之前我存了多少錢呢?
此情境可用? ??+?20?=?430? 的式子來表徵。
2. 透過具體表徵,解決從生活情境問題中列出的算式填充題。
說明:ぇ? 參考第一階段1的說明。
え? 在本期中學生可透過點數半具體物(具體表徵)或數的合成分解,解決如27?+?(? )?=?95、86?–?(? )?=?39、(? )?+?36?=?213、(? )?–?45?=?74、
3?<*?(? )?=?12、(? )?<*?5?=?30等等的算式填充題。

3. 透過具體觀察及探索,察覺數量的樣式。
說明:察覺數量的樣式在於提供多樣充份的經驗,使學生對數的概念及數與數的關係能有感覺,提昇數學能力。較常見的數量樣式有:ヾ奇數、偶數。ゝ倍數。ゞ等差數。々三角形數、正方形數。ぁ巴斯卡三角形數…。
例、ぇ? 透過?5?元硬幣個數與錢數關係之活動,看出?5,?10,?15,?20,…的下一項或看出這些數皆為5的倍數。
え? 在某班上,每位小朋友的姓名都恰有三個字,在班級名單上,依座號寫出小朋友姓名時,寫完第一、二、三、…號小朋友的姓名,共寫了3,?6,?9,?…個字。
ぉ? 在以(半)具體物拼排正方形時,察覺邊長逐次增加時,共需具體物個數的增加樣式。
4. 以文字或△、□、甲、乙、?、…等較具體的符號,簡單表徵長方形、長方體之長度、面積、體積等幾何量。
說明:學生可以自己喜歡使用的文字或符號來表徵,例如:以「長」代表長方形的一邊長度,以「寬」代表另一邊長度,則長方形的面積可表為「長×寬」;或以「長邊」代表長方形的一邊長度,以「短邊」代表相鄰邊長度,則長方形的面積可表為「長邊×短邊」。

 

5*. 觀察生活情境中的數量,以文字或符號來表徵這些數量,展現出生活情境所含的數學結構。
說明:這個活動是第三階段7的前置。參見其說明。
例、ぇ? 以? 餐費?+?餐費×0.1 ?表示在餐廳消費時所付的錢。
え? 如果將1公斤的草莓放在0.1公斤的盒子裡稱重,則可得總重? 1+0.1? 公斤;將2公斤的草莓放在0.1公斤的盒子裡稱重,則可得總重? 2+0.1? 公斤;將3公斤的草莓放在0.1公斤的盒子裡稱重,則可得總重? 3+0.1? 公斤……;若依此類推歸納,以?□?代表草莓重,則草莓放在0.1公斤的盒子中稱重時,應重? □+0.1? 公斤。
ぉ? 穿著衣服稱重時,若以□代表體重,以△代表衣服重,則體重計會顯示? □+△? 公斤。

6*. 透過將生活情境中數量關係表徵為等式的活動,經驗等號兩邊等量的觀念。
說明:這個活動是第三階段8的前置。參見其說明。
例、以等號簡潔表達出兩量的關係,特別著重在經驗等號兩邊等量的觀念,例如:物品照定價打八折時,售價?=?定價?×?0.8、售價=?□?×0.8;同一貨品,甲商店售價?+?99?=?乙商店售價?×?2。父親28歲時生蓉蓉,父親的年齡?=?蓉蓉的年齡+28。

7*. 將生活情境中簡單問題情境表徵為不等式,並透過生活經驗檢驗其解。
說明:從生活情境裡引介不等式及其解的簡單概念。
例、吃一碗60元的麵所要帶的錢,可表為 需帶的錢 <*?60 ,或用式子來表示為(? )?<*? 60 ,並初步檢驗哪些數滿足此式。

8*. 觀察人們表徵生活中數量時,負號的使用。
說明:此學習活動是為第三階段學習負數概念作準備。
例、新聞報告中的?–10°;冰凍庫溫度為?–5°;電梯中地下一樓以?–1表示;電池上以「+、–」代表兩極。

第三階段(6-7年級)


A-3-1

能用xy、…的式子表徵生活情境中的未知量及變量。

A-3-2

能將生活情境中的問題表徵為含有xy、…的等式或不等式,透過生活經驗檢驗、判斷其解,並能解釋式子及解與原問題情境的關係。

A-3-3

能利用數的合成分解或逆向思考解決從生活情境中列出的等式。

A-3-4

能比較生活情境中數量關係的異同及其表徵式的異同與使用時機。

A-3-5

能察覺簡易數量樣式與數量樣式之間的關係。

A-3-6

能瞭解幾何量的各種表徵樣式。

A-3-7

能察覺數量樣式與數量樣式之間的關係。

A-3-8

能做分數的四則運算。

A-3-9

能瞭解幾何量不同表徵樣式之間的關係。

A-3-10

能瞭解幾何圖形及形體變動時,其幾何量對應變動情形。

A-3-11

能以「正、負」表徵生活中相對的量,並能操作負整數的合成分解。

1*.? 將問題情境表徵為含有△、□、甲、乙、?、…等的式子。

說明:

延續第二階段1,以豐富學生利用符號記錄(生活情境中)數學式子的經驗。參見其說明。

2*. 透過觀察與探索,察覺數量的樣式。
說明:延續第二階段3,提供學生豐富而多樣的數量樣式經驗。參見其說明。

3. 將需要用到多階步驟運算解題的情境表徵為式子,並進行解題。

說明:在解題的方法上,學童可利用數的合成分解或其自發的逆向思考解題。需依據學童的認知發展,不宜強迫用形式化的方法解題。

 

? 例、問題情境:阿得買了一枝25元的自動鉛筆,又買了三張同價錢的貼紙,一共花了61元,問貼紙一張多少元?此情境可用? 25+3<*(? )?=?61的式子來表徵。

 

 

4. 觀察生活情境中的數量,以符號來表徵這些數量,展現出生活情境中所含的數學結構。

說明:符號的出現宜由較具體的符號(△、□、…)類化至抽象英文符號(?x, y,?…)。用符號表徵生活中的量時,對於未知量與變量的情形皆應提供足夠的經驗。

 

5. 觀察生活情境中數量的關係,並將這些關係表徵為式子,展現出它們的數學結構,同時感受等式及不等式的使用時機與方法。
說明:此處含相等關係、大小關係。常見的數量關係有:ヾ倍數關係。ゝ比例關係(濃度、…)。ゞ和或差不變關係。々均分關係(平分、平均、…)…。
例、一美元兌換33元台幣,若以y代表美元錢數,以x代表台幣錢數,則x?=?33y。又如,只帶了60元,要吃一碗麵加一個滷蛋(5元),以x代表一碗麵的價錢,則? x?+?5?<*?60。

6. 解(根)的概念及檢驗。

說明:解(根)是不同表徵式中的一種共同關係,以式子而言,即滿足的數。在此可同時進行等式與不等式兩類式子的解概念與異同之教學活動。解(根)的引出需從生活經驗出發。

 

 

7. 比較分析數量關係的異同以及這些關係的表徵式之異同。

說明:數量因關係不同而有不同的表徵式,比較分析其間的關連,除了有助於瞭解生活週遭及為後續學習鋪路外,亦可增加學生的分析、比較、分類、監控、推廣等等方面的能力。

 

? 例、如上述5的示例中,美元與台幣的關係可看成倍數關係或比例關係;又如兌換代幣等等皆是;另親子年齡則有差不變的關係,由這些不同關係所列出的式子結構亦不同。除此,有時兩數量會同時具備多類關係,則會有多類的表徵式。例如,在某一年父親的年齡是女兒的2倍(但這個倍數關係是會變的),而它們仍具有父女年齡的差不變之關係。

 

 

8.? 透過將生活情境中數量關係表徵為等式的活動,經驗等號兩邊等量的觀念。

說明:對學童而言,等號的意義往往是在情境中的「共有」(3?元加上?5元共有?8?元以3?+?5?=?8表示)、「還有」(?8?元減去?3?元還有?5元以8?–?3?=?5表示)、「得到或就是」(5?+?3?=?8,3?元加上?5?元得到或就是?8?元)。這時等號意義往往有從左至右程序(等號的程序性)的意義,並不含或不強化等號兩邊等量(等號的結構性)的觀念。以?3?元加上?5?元共有?8?元為例,學生不會寫成8?=?3?+?5來表示,因為這個式子的數字與符號出現次序與情境的語意不符。然而,強化「不管情境或敘述是何程序,等號代表的都是兩邊等量」的觀念是代數思維能否進展的重要議題。

9.? 透過探索與觀察,察覺幾何量的表徵樣式。

 

10. 察覺數量樣式與數量樣式之間的關係。

說明:此類的活動是學生數學抽象能力提昇的重要活動,亦有助於後續學習中將兩數量樣式的關係外顯地表出,如偶數可用?2n?表示,奇數可用?2n+1?表示等等。

? 例、察覺某些數可表為兩數之積,且兩數皆不為?1?或原數本身,某些數則不能如此表示;又如偶數:?0,2,4,6…,奇數則可表為(偶數?+1)?等等。

11. 觀察具體情境中分數的運算,歸納出分數運算的規則。

12. 觀察具體情境中的分數與小數,歸納出分數與小數的轉換規則。

13. 透過探索與觀察,察覺幾何量不同表徵樣式之間的關係。

例、

長方體體積以「長×寬×高」或「底面積×高」兩種不同表徵方式之間的關係。

 

 

14. 察覺幾何圖形及形體之變動時,其幾何量對應變動情形。

例、

梯形面積:(上底+下底)×高÷2,當上底變動至與下底等長時,梯形變成為平行四邊形,面積變成2×底×高÷2;上底一直縮小至0時,梯形變成三角形,面積變為底×高÷2。

 

 

15. 以「正、負」表徵生活中相對的量。
說明:透過正數的合成分解,類化負數的合成分解。
例、左、右相對,若向右以正表示時,則向左以負表示,若向左以正表示,則向右以負表示;賺、賠相對,若以正表示賺,賠可以負表示。

16. 經驗負整數的合成分解。

17. 透過實際描繪,將一堆具有基本關係的數值數據表徵為平面坐標圖形,觀察圖形與數據的對應關係及圖形的樣式。

說明:此處的數值數據盡量具備較簡單的關係,如和、差不變關係或比例關係。學生以描點的方式描繪出圖形,圖形可為離散的點,並不要求以連續圖形表示,但可要求學生預測圖形可能的連續樣式,如直線或拋物線(名稱不需出現,只需粗略的口頭描述)。

 

 

 

18*.利用等號兩邊等量的觀念進行解題

說明:此為第四階段等量公理概念的前置學習活動。

 

? 例、透過數的合成分解,利用等號兩邊等量的觀念解題,例如,

例、透過數的合成分解,利用等號兩邊等量的觀念解題,例如,

 

解 36?+?2?×?(? )?=?48時,
可將48視為36?+?12,
等號兩邊的36相同, 故?(? )?內數字的2倍是12,再求解。<*


 

第四階段(8-9年級)


A-4-1

能利用等量公理解從生活情境問題中列出的一元一次方程式。

A-4-2

能解從生活情境問題中列出的二元一次聯立方程式。

A-4-3

能檢驗、判斷不等式的解並描述其意義。

A-4-4

能利用一次式解決生活情境中的問題。

A-4-5

能畫出形如y?=?ax?+?b的坐標平面圖形。

A-4-6

能做正負數的四則運算。

A-4-7

能認識平方根以及用電算器看出其近似值。

A-4-8

能使用乘法公式。

A-4-9

能認識商高定理及其生活中的應用。

A-4-10

能認識、欣賞生活中或其他學科領域常用的公式。

A-4-11

能利用配方法或十字交乘法解一元二次方程式。

A-4-12

觀察生活週遭或其他學科領域中的數學,認識數學的用途與數學思維的特性。

1.? 透過生活經驗中「對等量之物做相同之運作仍會等量」的觀念,學習等量公理。

2.? 利用等量公理解從生活情境問題中列出的一元一次方程式。

3.? 以兩個不同的符號表示生活中的兩量,列出二元一次聯立方程式並進行解題活動。

4.? 認識一次不等式的解。
說明:在此不須要求學生用一個最簡式子表示不等式的解,只要學生有解的概念及能非型式化的描述其解即可。

5.? 利用一次等式或不等式解決生活情境中的問題。

6.? 將生活情境中含有線性關係的數量表徵式,轉換為坐標平面圖形的表徵,並透過操作、觀察、歸納,建立其圖形為直線的觀念,進而能畫出形如y?=?ax?+?b的圖形。

7.? 進行正負數四則運算的學習活動。

8.? 認識平方根以及用電算器看出其近似值。
說明:在此只強調以<*來記平方根的概念,並用電算器看出其大約多大,並不強調方根運算。

9.? 透過具體表徵,進行一次式的乘積之教學活動。
說明:將x+1x+2看成是長方形的兩邊,則其面積即(x+1)(x+2),亦即x2+3x+2
<*

10.? 透過具體表徵,認識乘法公式。

11.? 透過多樣的活動介紹商高定理,並能介紹其在生活中的應用。

12.? 認識生活中或其他學科領域常用的公式。
說明:生活中的公式,如正常血壓範圍的公式,各式各樣標準體重的計算公式等等生活週遭可見的公式,不強調這些公式是怎麼來的,只強調其實用性。其他學科領域的公式亦同。

13.? 利用配方法或十字交乘法解一元二次方程式。
說明:配方法的重要乃在於其法之美,故不宜要求學生在過程中作方根的運算,例如,算到<*時,只要記錄為<*,而得<*即可。對部分學生而言,配方法並不容易,教師應視班上學生的程度,決定配方法教學的目的是為了讓學生學會一種解題方法或只是純粹讓學生欣賞一種解題方法。

14.? 觀察生活週遭或其他學科領域中的數學,認識數學的用途與數學思維的特性。


5. 連結

基本想法

數學起源於人類的需要,它經過淬鍊,儼然自成體系。不過對大多數人而言,要能與生活連結、要能與其他領域連結,所學數學才能落實,才能有助於終身學習。
所謂連結,不只是單向的數學應用。既然數學起源於需要,而理論又自成體系,情境與理論必須兩相對照,才能瞭解數學的真意。
連結的第一步在於察覺,察覺生活以及其他領域的某些情境中有數學的要素,可藉助數學觀點的切入,使情境的情景變得清晰。
連結的第二步在於轉化,把察覺到的數學要素,以數學的語言表出,把情境待釐清的問題轉化成為數學的問題。
連結的第三步在於解題,解答轉化後的數學問題。它必須植基於數學本身的技能,有時候更要把數學的內容主題(數與量、圖形與空間、統計與機率、代數)融會貫通,這屬於數學內部的連結。
連結的第四步在於溝通,與自己以及與他人溝通解答的過程與合理性。因為解答的是經過轉化的問題,我們必須瞭解數學語言的真意,它與一般語言的異同,我們要用一般語言與數學語言說明解題的過程與答案的屬性、合理性,使得數學式的解答有助於情境的瞭解。
連結的第五步在於評析,評析情境的轉化及其後的解題,兩者的得失,闡釋原來的情境問題,提出新觀點,或做必要的調整,同時能將問題解法一般化。
經過察覺、轉化、解題、溝通及評析後,連結完成了一周的歷程,不但有助於情境的瞭解,而且也能掌握數學的方法。一方面可增進數學素養,廣泛應用數學,提高生活品質,另一方面也能加強數學式的思維,有助於生涯中求進一步的發展。
連結的能力應配合各階段之主題內容來培養。在考慮各階段的能力指標時,可以順帶選取適當的情境,同時強調一兩個相關的連結能力。連結能力指標不分階段羅列,但隨著階段的推移,連結的能力要愈來愈強,可處理的情境可以變得較為複雜。

 

能力指標的闡釋


C-R-1

能察覺生活中與數學相關的情境。

例、

要到阿里山旅行,知道查看火車及客運時刻表。

C-R-2

能察覺數學與其他領域之間有所連結。

例、

知道城市中的地址設置有某些數學式的想法。

C-R-3

能瞭解其他領域中所用到的數學知識與方法。

例、

能瞭解理化中以代數的等式表示壓力、體積與氣溫之間的關係。

C-R-4

能察覺數學與人類文化活動相關。

例、

各民族帶狀裝飾的設計往往具有對稱的性質。


C-T-1

能把情境中與問題相關的數量形析出。

例、

想在傍晚前到達阿里山,先要弄清楚嘉義到阿里山的客運要多少時間,客運多久有一班,到嘉義的火車要花多少時間等

C-T-2

能把情境中數量形之關係以數學語言表出。

例、

Eratosthenes 測量地球的大小,知道夏至時太陽直射S城,而在A城則成七度半的斜射,又測得S城在A城的正南方5000單位長的地方,轉成幾何語言則如下圖所示。

<*

C-T-3

能把情境中與數學相關的資料資訊化。

例、

想瞭解班上同學體重之分布,將同學的體重列成有序之長條圖。

 

C-T-4

能把待解的問題轉化成數學的問題。

例、

承C-T-2的例子,地球大小可用一周長表示,所以周長有多大就是轉化後的數學問題。


C-S-1

能分解複雜的問題為一系列的子題。

例、

班上為了去墾丁做三天兩夜的旅遊而做規劃:1.估計往返交通時間、休息時間及遊玩時間。2.排定交通工具、遊玩路線及作息時間。3.估算交通、住宿、餐飲及其他費用。4.決定每人分攤之費用。

C-S-2

能選擇使用合適的數學表徵。

例、

班上有40位同學,此次組隊登山,共有25位參加。登山隊長賦予每位同學一個號碼,1至25。每到一個休息地,就請隊員依序報號,從1報到25。只要沒間斷就表示全員到齊。隊長當然也可以要同學用學號的最後兩數字作代表,但會有跳號,用起來不方便。

C-S-3

能熟悉解題的各種歷程:蒐集、觀察、臆測、檢驗、推演、驗證、論證等。

例、

台北市地址的單雙號設置是否有規劃?
蒐? :自家門牌、友人地址、台北市地圖等。
觀? :街路的側巷看成街路上的住戶,其巷數與街路門牌號數連成一體,所以可用單雙號巷數來區別街路的哪一邊為單號或雙號。
臆? :以號碼小往號碼大的方向為準,街路的左側為單號、右側為雙號。
檢? :上述的臆測很多地方是對的,但南京西路就例外了…。似乎所有的西路都剛好相反。
再臆測:街路東西向者,單號在街路的北側,雙號在街路的南側。
再檢驗:仔細察看地圖果然沒錯。
推? :既然東西向的街路有這樣的規劃,南北向的也應該類似。
論? :我家在南北向的街路上,是雙號,在西側。所以原則應是:南北向的單號在東側,雙號在西側。
驗? :仔細察看,無論是南路還是北路,都遵守這樣的規則。

C-S-4

能運用解題的各種方法:分類、歸納、演繹、推理、推論、類比、分析、變形、一般化、特殊化、模型化、系統化、監控等。

例、

推理(在充分的理由之下而做了結論):Cameron測量了Nyangwe鎮的標高,知道比尼羅河中游的城鎮Gondokoro 要低,所以推理得知Nyangwe所在的Lualaba河不是尼羅河的上游(探險家Livingstone的假設)。
推論(理由雖不充分,但已有某些把握,而做了暫時的結論):哥倫布航行大西洋多日後,發現鳥群在附近飛過,還有樹枝在附近漂流,於是認為就要遇到陸地了。(因為大致說來,鳥群不會遠離陸地飛行,樹枝不會遠離陸地漂流)
類比(情形A與B類似,借用B的結果,推論A的結果):梯形的面積為(上底+下底)×高÷2,連續整數相加也有類似的公式,譬如4+5+…+9+10,「因為」「上底」=4,「下底」=10,「高」=10-4+1=7,「所以」和(=「面積」)為(4+10)×7÷2=49。
變形(改變表徵方式):一地標目擊者說是在北偏東30°,約200公尺遠,則看地圖可能要說成往東100公尺,再往北170公尺。
一般化:百貨公司打七折,則先打折後計5%的稅比較便宜,還是先計5%的稅後打折?以原價1000元為例,兩種算法相等:
(1000×70%)×1.05=735、(1000×1.05)×70%=735
可一般化,以x表任何原價,結果仍然相等:
(x×70%)×1.05=(x×1.05)×70%
可把打折幅度一般化,稅率也一般化,而得
(x×yz=(x×zy
特殊化:某診所從外頭買進濃度95%的酒精,要加純水配成濃度70%的酒精來使用。如果需要70%酒精100c.c.,則要用95%酒精多少c.c.?答案為:
100×70%÷95%=73.68
但73.68c.c.不好用量杯準確量得;如果不在意70%酒精剛好100c.c.,只要適量就好,則可以一般化,佔以x表之,而答案就變成了
x×70%÷95%=<*
若取特殊值x?=?95,則答案為?70c.c.,很容易量得準(也可以取x?=190?等)。
模型化:一社區有很好的游泳池,但需要一筆維護費。使用者(按使用次數)付費呢?還是擁有者(按土地坪數)付費呢?如果爭執不下,可用線性模型來化解,依以下公式各付部分費用:
x用+y
x,?y為參數,由社區應討論後決定為某特殊值:x?=?x0;y?=?y0。

系統化:平面座標、道路門牌、能力指標編碼等。
監控(防範解題出錯的一些機制):ヾ35×57=10335,錯了,兩位數乘兩位數不會變成五位數。35×57=3035,錯了,35小於40,57小於60,兩者相乘要小於?2400。ゝ上面特殊化的例子,如果第一個算式誤寫成:
100×70%×95%=66.5
就錯了,因為不純的66.5c.c.不能無中生有產生70c.c.(=100×70%)的純酒精。ゞ三角形中線長為兩邊長的平均?錯了,等腰三角形就明顯不對。

C-S-5

瞭解一數學問題可有不同的解法,並能嘗試不同的解法。

例、

解聯立方程式2x+4y=72,xy=30,可用正統的代數解法,把x=30-y代入第一個式子。另一種是猜答的方法(試誤法):若y=10、x=20,則2x+4y=80比72多8,那麼真正的y要比猜答的少4(?y?每少1,x就多1,2x+4y就少2),即y=10-4=6、x=20+4=24。

C-S-6

能用電算器或電腦處理大數目或大量數字的計算。

說明:

學會小數目的乘除計算之後,知道什麼時候該乘,什麼時候該除,比會計算大數目的乘除更重要。同樣道理,知道為什麼要求大量數字的平均,比如何去求得平均更重要。

例、

C-S-4的監控例子中的算式100×70%×95%就是不知何時該乘,何時該除的例子。


C-C-1

瞭解數學語言(符號、用語、圖表、非形式化演繹等)的內涵。

說明:

數學語言是用來溝通數學內容用的,要溝通當然要瞭解該語言的內涵。

C-C-2

瞭解數學語言與一般語言的異同。

例、

一般語言說,你要考80分以上,數學語言說你的分數要大於或等於80。一般語言習慣於二元邏輯,譬如爸爸對小孩說:「沒做完功課就不能看電視」,其實就是說:「做完功課就可以看電視」,但在數學的多元邏輯中,這兩種說法並不完全相同。


 

C-C-3

能用一般語言與數學語言說明情境與問題。

例、

這次課程的特色就是分階段,標明各主題的能力指標。怎樣標明這些指標,使之有全體的感覺?用數學語言來說,就是用怎樣的編碼系統來標明主題、階段與能力指標。

C-C-4

用數學的觀點推測及說明解答的屬性。

例、

88學年度大學聯招因某些試場監考的疏失,有98名考生試後加分,採增額分發錄取方式。到底有多少考生屬增額錄取的?因為全體錄取率為?60?%,而這?98?名考生屬於一般的高中(並不特殊),所以估計約為60(≒?98×60?%)名。

C-C-5

用數學語言呈現解題的過程。

說明:

指標中的「呈現」指的是用數學語言,用文字就解題的嚴謹方面所做的溝通。

C-C-6

用一般語言及數學語言說明解題的過程。

說明:

指標中的「說明」是偏向口頭的,注重解題過程方面的溝通。

例、

承C-S-5的例子,第一種解法屬C-C-5,第二種解法就比較是口頭的,只要把試誤法的要點說清楚,就足以瞭解解題的過程。(不一定要把答案解出來)

C-C-7

用回應情境、設想特例、估計或不同角度等方式說明或反駁解答的合理性。

例、

回應情境與估計:承C-C-4的例子,如果分發結果只有?40?名為增額錄取,顯然解答的合理性值得懷疑;如果有?64?名,與估計的?60?名相近,則為合理的數目。
設想特例:定理「圓周角為同弧圓心角之半」中的圓周角其實有無窮多個,明顯的特例就是把此圓心角的一個半徑邊延長而得的一個圓周角。此特例顯然是對的,而通例很快就可由此特例看出是對的。
不同角度:1?+?2?+?…?+?99?+?100等於多少?考慮100?+?99?+?…+?2?+?1,其和一樣。兩式對應項相加都得?101,而共有?100?對,所以兩式和為?101×100?=?10100,除以?2,就得一式之和為5050。


C-C-8

能尊重他人解決數學問題的多元想法。

說明:

不同的解法固然有快慢的差別,但無論是哪種解法,只要是自己想的,都是數學思考的一次磨練,都會有收穫。

例、

見C-S-5的例子。

C-C-9

能回應情境共同決定數學模型中的一些待定參數。

說明:

見C-S-4中模型化的例子。


C-E-1

能用解題的結果闡釋原來的情境問題。

例、

一個人的祖先數有多少?10代,<*,約1千人;20代,<*,約1千的1千,1百萬人;30代,<*,約1百萬的1千倍,10億人。依此類推,人數很快就比現有的地球人口總數還多,中間必重複者眾。

C-E-2

能由解題的結果重新審視情境,提出新的觀點或問題。

例、

承C-E-1的例子。你我之祖先一樣人數眾多,我們會有共同的祖先吧?

C-E-3

經闡釋及審視情境,能重新評估原來的轉化是否得宜,並做必要的調整。

例、

承C-E-1與C-E-2的例子,要解決C-E-2例子所提的問題,必須轉換一個觀點看<*:n越大,<*越大,但時代越遠,當時的人數越少,愈有可能是<*中的一個。你我的情形都一樣。所以我們有共同祖先的機會,就隨著n而增大,最後大到幾乎是必然的。

C-E-4

能評析解法的優缺點。

例、

C-E-3例中的解法是定性的,這是優點;但它無法回答定量的問題:你我最近的共同祖先是哪一代?我的祖先到底有多少人?

C-E-5

能將問題與解題一般化。

例、

參照C-E-3的例子及解題,美國白人尋根應該都可以與歐洲皇室相聯;全世界的人可能有共同的祖先。